исследовать функции на монотонность и точки экстремума и построить график второй функции
Для того чтобы исследовать функции на монотонность и точки экстремума, а также построить график второй функции, выполним следующие шаги.
1. Исследуем монотонность и точки экстремума первой функции:
Функция: \( y = \frac{4x^2 - 11}{12 - 4x} \)
Шаг 1: Найдите производную функции.
Используем правило производной частного: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Где \( u = 4x^2 - 11 \) и \( v = 12 - 4x \).
\[ u' = 8x \] \[ v' = -4 \]
Производная: \[ y' = \frac{(8x)(12 - 4x) - (4x^2 - 11)(-4)}{(12 - 4x)^2} \]
Упрощаем: \[ y' = \frac{96x - 32x^2 + 16x^2 + 44}{(12 - 4x)^2} \]
\[ y' = \frac{-16x^2 + 96x + 44}{(12 - 4x)^2} \]
Шаг 2: Найдите критические точки.
Критические точки находятся, когда \( y' = 0 \) или производная не определена.
Найдём, когда числитель равен нулю: \[ -16x^2 + 96x + 44 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 96^2 - 4(-16)(44) = 9216 + 2816 = 12032 \)
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-96 \pm \sqrt{12032}}{-32} \]
Точные значения корней можно вычислить с калькулятором. Эти значения будут критическими точками.
Шаг 3: Исследуйте интервалы знаков первой производной.
Поставьте на числовую прямую критические точки и исследуйте знаки производной на каждом интервале.
2. Построим график второй функции:
Функция: \( y = -x^3 + x^2 + 4 \)
Шаг 1: Найдите производную функции.
\[ y' = -3x^2 + 2x \]
Шаг 2: Найдите критические точки.
Решаем уравнение: \[ -3x^2 + 2x = 0 \] \[ x(-3x + 2) = 0 \]
Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{3} \)
Шаг 3: Исследуйте интервалы монотонности.
Определяем знаки производной на интервалах: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{2}{3}) \), \( (\frac{2}{3}, \infty) \).
Производная \( y' > 0 \) на интервале \( \left(0, \frac{2}{3}\right) \) и \( y' < 0 \) на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( \left(\frac{2}{3}, \infty \right) \).
Таким образом:
- Возрастает при \( x \in \left(0, \frac{2}{3}\right) \).
- Убывает при \( x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{2}{3}, \infty \right) \).
Шаг 4: Найдите значения в точках экстремума.
Найдите значения функции в критических точках для определения точек экстремума:
- Подставьте \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{3} \) в исходную функцию.
Шаг 5: Построение графика.
- Используйте критические точки, чтобы отметить экстремумы.
- Учтите, где функция возрастает и убывает.
- Постройте общую форму графика \( y = -x^3 + x^2 + 4 \) с учётом найденной информации.
Таким образом, применяя данные шаги, вы можете исследовать функции и построить график.
