Чтобы найти (\sin A) в треугольнике (ABC), где (AB = BC = 30) и (AC = 48), мы можем воспользоваться теоремой косинусов.
Шаг 1: Использование теоремы косинусов
Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника:
[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) ]
где:
- (c) — длина стороны, противолежащей углу (C),
- (a) и (b) — длины других двух сторон,
- (\cos(C)) — косинус угла (C).
В нашей задаче:
- (a = AB = 30),
- (b = AC = 48),
- (c = BC = 30),
- угол (C) — это угол (A).
Шаг 2: Подстановка значений
Запишем уравнение, используя известные длины сторон:
[
30^2 = 30^2 + 48^2 - 2 \cdot 30 \cdot 48 \cdot \cos(A)
]
Вычислим значения квадратов:
[
900 = 900 + 2304 - 2880 \cdot \cos(A)
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Сократим и упростим:
[
900 = 900 + 2304 - 2880 \cdot \cos(A)
]
Выразим (\cos(A)):
[
0 = 2304 - 2880 \cdot \cos(A)
]
[
2880 \cdot \cos(A) = 2304
]
[
\cos(A) = \frac{2304}{2880}
]
Упрощаем дробь:
[
\frac{2304}{2880} = \frac{144}{180} = \frac{4}{5}
]
Шаг 4: Находим (\sin(A)) через (\cos(A))
Мы знаем, что:
[
\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1
]
Подставим значение (\cos(A)):
[
\sin^2(A) + \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1
]
[
\sin^2(A) + \frac{16}{25} = 1
]
Перепишем уравнение:
[
\sin^2(A) = 1 - \frac{16}{25}
]
[
\sin^2(A) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
]
Шаг 5: Найдем (\sin(A))
(\sin(A) = \sqrt{\frac{9}{25}}) или (\sin(A) = \frac{3}{5}).
Ответ
Таким образом, (\sin A = \frac{3}{5}).
