Как много элементарных событий в серии из десяти испытаний бернуле благоприятствует четырём успехам
Чтобы решить задачу о количестве элементарных событий в серии из десяти испытаний бернулли, благоприятствующих четырем успехам, мы можем использовать формулу для вычисления числа комбинаций. Давайте рассмотрим шаги подробнее:
Определение задачи. В данной задаче мы имеем 10 испытаний (то есть \( n = 10 \)) и нас интересует, когда успехов (например, результат "А") будет ровно 4 (то есть \( k = 4 \)). Остальные испытания будут неудачами (результат "Б").
Формула для сочетаний. Нам нужно вычислить количество способов выбрать 4 успеха из 10 испытаний. Это рассчитывается по формуле сочетаний, которая выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] Где:
- \( n! \) — факториал числа \( n \) (произведение всех целых чисел от 1 до \( n \)),
- \( k! \) — факториал числа \( k \),
- \( (n - k)! \) — факториал числа \( n - k \).
Подстановка значений в формулу. Подставляя наши значения:
- \( n = 10 \) (всего испытаний),
- \( k = 4 \) (успехов),
- \( n - k = 6 \) (неудач),
Получаем:
\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Вычисление факториалов. Теперь нам нужно вычислить факториалы:
- \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
- \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
- \( 6! = 720 \)
Подставим это обратно в формулу:
\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} \]
Упрощение. Так как \( 6! \) сокращается, осталось:
\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \]
Вычисление числителя и деление. Сначала посчитаем числитель:
\( 10 \times 9 = 90 \)
\( 90 \times 8 = 720 \)
\( 720 \times 7 = 5040 \)Теперь делим на 24:
\[ \frac{5040}{24} = 210 \]
Ответ. Итак, количество элементарных событий, благоприятствующих четырем успехам в серии из десяти испытаний, равно 210.
Таким образом, ответ на заданную задачу — 210 элементарных событий.
