Чтобы найти вероятность того, что пятёрка выпадет ровно два раза при девяти бросках игральной кости, можно использовать биномиальную вероятность.
Шаг 1: Определим параметры
У нас есть:
- Общее количество бросков ( n = 9 )
- Успех (выброс пятёрки) ( k = 2 )
- Вероятность успеха в одном броске ( p = \frac{1}{6} ) (так как на игральной кости 6 граней и только одна из них - это пятёрка)
- Вероятность неудачи ( q = 1 - p = \frac{5}{6} )
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Формула для расчёта вероятности получения ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) - число сочетаний, которое можно вычислить по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Вычислим необходимые параметры
- Вычислим число сочетаний ( C(9, 2) ):
[
C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36
]
- Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:
[
P(X = 2) = C(9, 2) \times p^2 \times q^{9-2}
]
Подставляем ( p = \frac{1}{6} ) и ( q = \frac{5}{6} ):
[
P(X = 2) = 36 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^7
]
Шаг 4: Вычисляем вероятность
- Найдём ( \left(\frac{1}{6}\right)^2 ):
[
\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}
]
- Найдём ( \left(\frac{5}{6}\right)^7 ):
[
\left(\frac{5}{6}\right)^7 = \frac{5^7}{6^7} = \frac{78125}{279936}
]
- Теперь подставляем всё в формулу:
[
P(X = 2) = 36 \times \frac{1}{36} \times \frac{78125}{279936} = 1 \times \frac{78125}{279936} = \frac{78125}{279936}
]
- Вычислим значение:
[
P(X = 2) \approx 0.279
]
Шаг 5: Округлим до десятитысячных
Теперь округлим полученное значение до десятитысячных:
[
P(X = 2) \approx 0.2791
]
Ответ
Вероятность того, что пятёрка выпадет ровно два раза при девяти бросках игральной кости, составляет примерно 0.2791.
