найди вероятность того, что пятёрка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 9 раз (ответ округли до десятитысячных)
Чтобы найти вероятность того, что пятёрка выпадет ровно два раза при девяти бросках игральной кости, можно использовать биномиальную вероятность.
Шаг 1: Определим параметры
У нас есть:
- Общее количество бросков \( n = 9 \)
- Успех (выброс пятёрки) \( k = 2 \)
- Вероятность успеха в одном броске \( p = \frac{1}{6} \) (так как на игральной кости 6 граней и только одна из них - это пятёрка)
- Вероятность неудачи \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \)
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Формула для расчёта вероятности получения ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) - число сочетаний, которое можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 3: Вычислим необходимые параметры
- Вычислим число сочетаний \( C(9, 2) \):
\[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \]
- Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:
\[ P(X = 2) = C(9, 2) \times p^2 \times q^{9-2} \]
Подставляем \( p = \frac{1}{6} \) и \( q = \frac{5}{6} \):
\[ P(X = 2) = 36 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^7 \]
Шаг 4: Вычисляем вероятность
- Найдём \( \left(\frac{1}{6}\right)^2 \):
\[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
- Найдём \( \left(\frac{5}{6}\right)^7 \):
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^7 = \frac{5^7}{6^7} = \frac{78125}{279936} \]
- Теперь подставляем всё в формулу:
\[ P(X = 2) = 36 \times \frac{1}{36} \times \frac{78125}{279936} = 1 \times \frac{78125}{279936} = \frac{78125}{279936} \]
- Вычислим значение:
\[ P(X = 2) \approx 0.279 \]
Шаг 5: Округлим до десятитысячных
Теперь округлим полученное значение до десятитысячных:
\[ P(X = 2) \approx 0.2791 \]
Ответ
Вероятность того, что пятёрка выпадет ровно два раза при девяти бросках игральной кости, составляет примерно 0.2791.
