Два одинаковых маленьких шарика, с зарядом q и массой т каждый, подвешены на одинаковых нитях длиной l. Вся система помещена в однородное электрическое поле, направленное…
Два одинаковых маленьких шарика, с зарядом q и массой т каждый, подвешены на одинаковых нитях длиной l. Вся система помещена в однородное электрическое поле, направленное вертикально вверх. Шарики разводят так, что нити образуют горизонтальную прямую, и отпускают. Наименьшее расстояние, на которое они сближаются, равно l. Чему равна напряженность электрического поля, если во время движения нити остаются натянутыми?
Для решения задачи начнем с анализа сил, действующих на каждый из шариков, когда они находятся в однородном электрическом поле.
Силы, действующие на шарик:
- Сила тяжести \( F_g \) направлена вниз и равна \( mg \).
- Сила электростатического взаимодействия \( F_e \) направлена вверх, она пропорциональна заряду шарика и напряженности электрического поля \( E \): \( F_e = qE \).
- Сила натяжения нити \( T \) направлена вдоль нити и имеет вертикальную и горизонтальную составные части.
Условия равновесия: Когда шарики располагаются в равновесии и образуют прямую, силы на них уравновешены. Мы можем записать уравнения для вертикальной и горизонтальной составляющих.
- В вертикальном направлении: \[ T \cos(\theta) = mg - qE \]
- В горизонтальном направлении: \[ T \sin(\theta) = \frac{kq^2}{x^2} \] где \( k \) — постоянная электростатического взаимодействия, \( x \) — расстояние между шариками, которое со временем будет стремиться к минимальному значению, равному \( l \).
Состояние при наименьшем расстоянии: Когда шарики сближаются и \( x = l \), у нас сохраняются условия равновесия, которые можно применять как в момент сближения, так и в момент максимального отклонения.
При \( x = l \): \[ T \sin(\theta) = \frac{kq^2}{l^2} \]
Связь между углом наклона нити и длиной: Для небольших углов \( \theta \) можно использовать приближение \( \sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{h}{l} \), где \( h \) — вертикальная высота, на которую поднял шарик.
Составное уравнение: Теперь можем подставить выражения из горизонтальной и вертикальной составляющей, получая: \[ T \frac{h}{l} = \frac{kq^2}{l^2} \] Подставляя \( T = mg + qE \) из вертикальной составляющей: \[ (mg + qE) \frac{h}{l} = \frac{kq^2}{l^2} \]
Выразим напряженность поля \( E \): \[ qE = \frac{kq^2}{l^2} - mg \frac{l}{h} \] Принимая за \( h \) длину нити \( l \) (граничное положение), получаем: \[ mg = qE - \frac{kq^2}{l^2}\frac{l}{l} = qE - \frac{kq^2}{l} \] Таким образом, напряженность электрического поля при этом положении будет равна: \[ E = \frac{mg + \frac{kq^2}{l}}{q} \]
- Итоговое выражение: Итак, напряженность электрического поля \( E \): \[ E = \frac{mg}{q} + \frac{kq}{l^2} \]
Это значение соответствует найденной настройке электрического поля, обеспечивая равновесие для условий, описанных в задаче.
