Производится серия из 10 испытаний Бернулли. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 3 успеха, или тех, в которых 7 успехов?

Чтобы решить задачу, нужно проанализировать, сколько различных способов (элементарных событий) можно получить 3 успеха и 7 успехов в серии из 10 испытаний Бернулли. Для этого будем использовать формулу сочетаний. ### Шаг 1: Определение формулы сочетаний Количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний можно найти с помощью формулы сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \] где \( n! \) (факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). ### Шаг 2: Применение формулы к нашей задаче 1. **Количество способов получить 3 успеха из 10:** \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \] Теперь, вычислим факториалы: - \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \) (можем сократить с \( 7! \)) - \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) Подставляем: \[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \] Вычисляем: \[ = \frac{720}{6} = 120 \] 2. **Количество способов получить 7 успехов из 10:** \[ C(10, 7) = \frac{10!}{7! \cdot (10 - 7)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \] Мы можем заметить, что: \[ C(10, 7) = C(10, 3) \] Это связано с тем, что выбор 7 успехов эквивалентен выбору 3 неудач. Таким образом: \[ C(10, 7) = 120 \] ### Шаг 3: Сравнение результатов Мы получили: - Количество элементарных событий с 3 успехами: \( 120 \) - Количество элементарных событий с 7 успехами: \( 120 \) ### Заключение Количество элементарных событий с 3 успехами равно количеству элементарных событий с 7 успехами. Следовательно, в данной серии из 10 испытаний Бернулли количество элементарных событий с 3 успехами и 7 успехами одинаково.