Производится серия из 10 испытаний Бернулли. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 3 успеха, или тех, в которых 7 успехов?
Чтобы решить задачу, нужно проанализировать, сколько различных способов (элементарных событий) можно получить 3 успеха и 7 успехов в серии из 10 испытаний Бернулли. Для этого будем использовать формулу сочетаний.
Шаг 1: Определение формулы сочетаний
Количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний можно найти с помощью формулы сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
где \( n! \) (факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).
Шаг 2: Применение формулы к нашей задаче
Количество способов получить 3 успеха из 10: \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \] Теперь, вычислим факториалы:
- \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \) (можем сократить с \( 7! \))
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
Подставляем: \[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \] Вычисляем: \[ = \frac{720}{6} = 120 \]
Количество способов получить 7 успехов из 10: \[ C(10, 7) = \frac{10!}{7! \cdot (10 - 7)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \] Мы можем заметить, что: \[ C(10, 7) = C(10, 3) \] Это связано с тем, что выбор 7 успехов эквивалентен выбору 3 неудач. Таким образом: \[ C(10, 7) = 120 \]
Шаг 3: Сравнение результатов
Мы получили:
- Количество элементарных событий с 3 успехами: \( 120 \)
- Количество элементарных событий с 7 успехами: \( 120 \)
Заключение
Количество элементарных событий с 3 успехами равно количеству элементарных событий с 7 успехами. Следовательно, в данной серии из 10 испытаний Бернулли количество элементарных событий с 3 успехами и 7 успехами одинаково.
