Найдите n сумму первых членов геометрической прогрессии (bn) со знаменателем q, если 1) b1 = 1, q = 2, n = 9; 2) b1 = 15, q = 2/3, n = 3;

Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используем следующую формулу:

\[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( b_1 \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель прогрессии,
• \( n \) — количество членов.

Теперь давайте по очереди решим два подзадачи.

1) Дано: \( b_1 = 1 \), \( q = 2 \), \( n = 9 \)

1. Подставляем значения в формулу: \[ S_9 = 1 \cdot \frac{1 - 2^9}{1 - 2} \]

2. Сначала найдем \( 2^9 \): \[ 2^9 = 512 \]

3. Теперь подставим это значение в формулу: \[ S_9 = \frac{1 - 512}{1 - 2} = \frac{-511}{-1} = 511 \]

Таким образом, сумма первых 9 членов геометрической прогрессии в этом случае равна 511.

2) Дано: \( b_1 = 15 \), \( q = \frac{2}{3} \), \( n = 3 \)

1. Подставляем значения в формулу: \[ S_3 = 15 \cdot \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^3}{1 - \frac{2}{3}} \]

2. Сначала найдем \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 \): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]

3. Теперь подставим это значение в формулу: \[ S_3 = 15 \cdot \frac{1 - \frac{8}{27}}{1 - \frac{2}{3}} = 15 \cdot \frac{\frac{27 - 8}{27}}{\frac{1}{3}} = 15 \cdot \frac{\frac{19}{27}}{\frac{1}{3}} \]

4. Упрощаем: \[ S_3 = 15 \cdot \frac{19}{27} \cdot 3 = 15 \cdot \frac{57}{27} \]

5. Упрощаем: \[ S_3 = \frac{15 \cdot 57}{27} = \frac{855}{27} = 31.6667 \approx 31.67 \]

Таким образом, сумма первых 3 членов геометрической прогрессии в этом случае приблизительно равна 31.67.

Итак, результаты:

1. Для \( b_1 = 1, q = 2, n = 9 \): сумма равна 511.
2. Для \( b_1 = 15, q = \frac{2}{3}, n = 3 \): сумма приблизительно равна 31.67.