Чтобы найти дисперсию случайной величины ( Z ), нужно следовать определённым шагам.
Шаг 1: Найти математическое ожидание ( E(Z) )
Математическое ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
[
E(Z) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
]
где ( x_i ) — значения случайной величины, а ( p_i ) — соответствующие вероятности.
В нашем случае:
- ( x_1 = 2, p_1 = 0.2 )
- ( x_2 = 3, p_2 = 0.1 )
- ( x_3 = 5, p_3 = 0.3 )
- ( x_4 = 7, p_4 = 0.3 )
- ( x_5 = 9, p_5 = 0.1 )
Теперь подставим значения в формулу:
[
E(Z) = 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.1
]
Посчитаем каждый член:
- ( 2 \cdot 0.2 = 0.4 )
- ( 3 \cdot 0.1 = 0.3 )
- ( 5 \cdot 0.3 = 1.5 )
- ( 7 \cdot 0.3 = 2.1 )
- ( 9 \cdot 0.1 = 0.9 )
Теперь складываем все результаты:
[
E(Z) = 0.4 + 0.3 + 1.5 + 2.1 + 0.9 = 5.2
]
Шаг 2: Найти дисперсию ( D(Z) )
Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:
[
D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2
]
Сначала найдём ( E(Z^2) ):
[
E(Z^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i
]
Найдем ( x_i^2 ):
- ( 2^2 = 4 ) с вероятностью ( 0.2 )
- ( 3^2 = 9 ) с вероятностью ( 0.1 )
- ( 5^2 = 25 ) с вероятностью ( 0.3 )
- ( 7^2 = 49 ) с вероятностью ( 0.3 )
- ( 9^2 = 81 ) с вероятностью ( 0.1 )
Теперь подставим значения в формулу для ( E(Z^2) ):
[
E(Z^2) = 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 25 \cdot 0.3 + 49 \cdot 0.3 + 81 \cdot 0.1
]
Посчитаем каждый член:
- ( 4 \cdot 0.2 = 0.8 )
- ( 9 \cdot 0.1 = 0.9 )
- ( 25 \cdot 0.3 = 7.5 )
- ( 49 \cdot 0.3 = 14.7 )
- ( 81 \cdot 0.1 = 8.1 )
Суммируем:
[
E(Z^2) = 0.8 + 0.9 + 7.5 + 14.7 + 8.1 = 32.0
]
Шаг 3: Найти дисперсию
Теперь подставим значения в формулу для дисперсии:
[
D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = 32.0 - (5.2)^2
]
Сначала найдём ( (E(Z))^2 ):
[
(5.2)^2 = 27.04
]
Теперь подставляем в формулу:
[
D(Z) = 32.0 - 27.04 = 4.96
]
Ответ
Дисперсия случайной величины ( Z ) равна ( 4.96 ).
