Предположим, у нас есть случайная величина Z, которая принимает значения 2, 3, 5, 7 и 9 с вероятностями 0,2; 0,1; 0,3; 0,3 и 0,1 соответственно. Найдите дисперсию этой случайной…

Чтобы найти дисперсию случайной величины \( Z \), нужно следовать определённым шагам.

Шаг 1: Найти математическое ожидание \( E(Z) \)

Математическое ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

\[ E(Z) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]

где \( x_i \) — значения случайной величины, а \( p_i \) — соответствующие вероятности.

В нашем случае:

• \( x_1 = 2, p_1 = 0.2 \)
• \( x_2 = 3, p_2 = 0.1 \)
• \( x_3 = 5, p_3 = 0.3 \)
• \( x_4 = 7, p_4 = 0.3 \)
• \( x_5 = 9, p_5 = 0.1 \)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ E(Z) = 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.1 \]

Посчитаем каждый член:

• \( 2 \cdot 0.2 = 0.4 \)
• \( 3 \cdot 0.1 = 0.3 \)
• \( 5 \cdot 0.3 = 1.5 \)
• \( 7 \cdot 0.3 = 2.1 \)
• \( 9 \cdot 0.1 = 0.9 \)

Теперь складываем все результаты:

\[ E(Z) = 0.4 + 0.3 + 1.5 + 2.1 + 0.9 = 5.2 \]

Шаг 2: Найти дисперсию \( D(Z) \)

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

\[ D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 \]

Сначала найдём \( E(Z^2) \):

\[ E(Z^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i \]

Найдем \( x_i^2 \):

• \( 2^2 = 4 \) с вероятностью \( 0.2 \)
• \( 3^2 = 9 \) с вероятностью \( 0.1 \)
• \( 5^2 = 25 \) с вероятностью \( 0.3 \)
• \( 7^2 = 49 \) с вероятностью \( 0.3 \)
• \( 9^2 = 81 \) с вероятностью \( 0.1 \)

Теперь подставим значения в формулу для \( E(Z^2) \):

\[ E(Z^2) = 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 25 \cdot 0.3 + 49 \cdot 0.3 + 81 \cdot 0.1 \]

Посчитаем каждый член:

• \( 4 \cdot 0.2 = 0.8 \)
• \( 9 \cdot 0.1 = 0.9 \)
• \( 25 \cdot 0.3 = 7.5 \)
• \( 49 \cdot 0.3 = 14.7 \)
• \( 81 \cdot 0.1 = 8.1 \)

Суммируем:

\[ E(Z^2) = 0.8 + 0.9 + 7.5 + 14.7 + 8.1 = 32.0 \]

Шаг 3: Найти дисперсию

Теперь подставим значения в формулу для дисперсии:

\[ D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = 32.0 - (5.2)^2 \]

Сначала найдём \( (E(Z))^2 \):

\[ (5.2)^2 = 27.04 \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ D(Z) = 32.0 - 27.04 = 4.96 \]

Ответ

Дисперсия случайной величины \( Z \) равна \( 4.96 \).