Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60°

Чтобы найти площадь прямоугольника, когда одна из его сторон известна (в данном случае 5 см), и угол между диагоналями равен 60°, необходимо воспользоваться некоторыми геометрическими свойствами.

Шаг 1: Определение свойств прямоугольника

Прямоугольник — это четыреугольник, в котором все углы прямые (90°). У него есть две пары противоположных сторон, которые равны между собой. Диагонали прямоугольника равны и пересекаются под углом.

Шаг 2: Использование угла между диагоналями

Угол между диагоналями в прямоугольнике равен 60°. Назовем стороны прямоугольника \( a \) и \( b \), где \( a = 5 \) см, а \( b \) — незнакомая сторона. Мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольника, которая равна:

\[ S = a \cdot b \]

Однако нам нужно определить, как угол между диагоналями связан с \( b \).

Шаг 3: Выражение диагоналей

Диагонали \( d \) прямоугольника рассчитываются по формуле:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В нашем случае, если угол между диагоналями равен 60°, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины сторон. Угол между диагоналями в прямоугольнике также может быть выражен через стороны:

\[ \cos(\theta) = \frac{a}{d} \] \[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Подстановка значений

Подставим известные значения:

\[ \frac{5}{d} = \frac{1}{2} \implies d = 10 \]

Теперь, подставим \( d \) в уравнение диагоналей:

\[ 10 = \sqrt{5^2 + b^2} \] \[ 10^2 = 25 + b^2 \] \[ 100 = 25 + b^2 \implies b^2 = 75 \implies b = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]

Шаг 5: Вычисление площади

Теперь, зная \( a \) и \( b \):

\[ S = a \cdot b = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \]

Ответ

Площадь прямоугольника равна \( 25\sqrt{3} \) см², что примерно равно 43.3 см².