В торговом центре установлены два кофейных автомата. вероятность того, что в первом автомате к концу дня кофе закончится, равна 0,21. то же самое верно и для второго автомата. а вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,09. найдите вероятность того, что к концу дня: а)кофе останется в обоих автоматах, б)кофе закончится ровно в одном автомате, в) кофе закончистя хотя бы в одном автомате

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать теорию вероятностей. Обозначим события: - \( A_1 \) — кофе закончится в первом автомате. - \( A_2 \) — кофе закончится во втором автомате. Даны следующие вероятности: - \( P(A_1) = 0,21 \) - \( P(A_2) = 0,21 \) - \( P(A_1 \cap A_2) = 0,09 \) — вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах. На основе этих данных мы можем найти нужные нам вероятности. ### а) Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Чтобы найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, определим событие \( B \), которое соответствует тому, что кофе не закончится ни в одном автомате: \[ P(B) = 1 - P(A_1 \cup A_2) \] Используя формулу для объединения событий, получаем: \[ P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \] Подставляем известные вероятности: \[ P(A_1 \cup A_2) = 0,21 + 0,21 - 0,09 = 0,42 \] Теперь можем найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: \[ P(B) = 1 - P(A_1 \cup A_2) = 1 - 0,42 = 0,58 \] ### б) Вероятность того, что кофе закончится ровно в одном автомате. Рассмотрим событие \( C \), которое соответствует тому, что кофе закончится ровно в одном автомате. Это может произойти двумя способами: 1. Кофе закончился в первом автомате, но не во втором: \( P(A_1 \cap A_2^c) \) 2. Кофе закончился во втором автомате, но не в первом: \( P(A_2 \cap A_1^c) \) Сначала найдем вероятности каждого из этих событий. - Вероятность того, что во втором автомате кофе не закончится: \[ P(A_2^c) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,21 = 0,79 \] Тогда: \[ P(A_1 \cap A_2^c) = P(A_1) \cdot P(A_2^c) = 0,21 \times 0,79 = 0,1659 \] Теперь найдем вероятность того, что кофе закончится во втором автомате: \[ P(A_1^c) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,21 = 0,79 \] Таким образом: \[ P(A_2 \cap A_1^c) = P(A_2) \cdot P(A_1^c) = 0,21 \times 0,79 = 0,1659 \] Складываем вероятности обоих случаев: \[ P(C) = P(A_1 \cap A_2^c) + P(A_2 \cap A_1^c) = 0,1659 + 0,1659 = 0,3318 \] ### в) Вероятность, что кофе закончится хотя бы в одном автомате. Для нахождения этой вероятности мы можем воспользоваться тем, что эта вероятность дополнение к вероятности того, что в обоих автоматах кофе останется: \[ P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(B) = 0,42 \] Таким образом, ответ на каждый пункт: 1. Кофе останется в обоих автоматах: \( 0,58 \) 2. Кофе закончится ровно в одном автомате: \( 0,3318 \) 3. Кофе закончится хотя бы в одном автомате: \( 0,42 \)