в торговом центре установлены два кофейных автомата. вероятность того, что в первом автомате к концу дня кофе закончится, равна 0,21. то же самое верно и для второго автомата. а…

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать теорию вероятностей. Обозначим события:

• \( A_1 \) — кофе закончится в первом автомате.
• \( A_2 \) — кофе закончится во втором автомате.

Даны следующие вероятности:

• \( P(A_1) = 0,21 \)
• \( P(A_2) = 0,21 \)
• \( P(A_1 \cap A_2) = 0,09 \) — вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах.

На основе этих данных мы можем найти нужные нам вероятности.

а) Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах.

Чтобы найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, определим событие \( B \), которое соответствует тому, что кофе не закончится ни в одном автомате:

\[ P(B) = 1 - P(A_1 \cup A_2) \]

Используя формулу для объединения событий, получаем:

\[ P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \] Подставляем известные вероятности:

\[ P(A_1 \cup A_2) = 0,21 + 0,21 - 0,09 = 0,42 \]

Теперь можем найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах:

\[ P(B) = 1 - P(A_1 \cup A_2) = 1 - 0,42 = 0,58 \]

б) Вероятность того, что кофе закончится ровно в одном автомате.

Рассмотрим событие \( C \), которое соответствует тому, что кофе закончится ровно в одном автомате. Это может произойти двумя способами:

1. Кофе закончился в первом автомате, но не во втором: \( P(A_1 \cap A_2^c) \)
2. Кофе закончился во втором автомате, но не в первом: \( P(A_2 \cap A_1^c) \)

Сначала найдем вероятности каждого из этих событий.

• Вероятность того, что во втором автомате кофе не закончится:

\[ P(A_2^c) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,21 = 0,79 \]

Тогда:

\[ P(A_1 \cap A_2^c) = P(A_1) \cdot P(A_2^c) = 0,21 \times 0,79 = 0,1659 \]

Теперь найдем вероятность того, что кофе закончится во втором автомате:

\[ P(A_1^c) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,21 = 0,79 \]

Таким образом:

\[ P(A_2 \cap A_1^c) = P(A_2) \cdot P(A_1^c) = 0,21 \times 0,79 = 0,1659 \]

Складываем вероятности обоих случаев:

\[ P(C) = P(A_1 \cap A_2^c) + P(A_2 \cap A_1^c) = 0,1659 + 0,1659 = 0,3318 \]

в) Вероятность, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Для нахождения этой вероятности мы можем воспользоваться тем, что эта вероятность дополнение к вероятности того, что в обоих автоматах кофе останется:

\[ P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(B) = 0,42 \]

Таким образом, ответ на каждый пункт:

1. Кофе останется в обоих автоматах: \( 0,58 \)
2. Кофе закончится ровно в одном автомате: \( 0,3318 \)
3. Кофе закончится хотя бы в одном автомате: \( 0,42 \)