Для решения уравнения ( 3x^2 - 13x + 4 = 0 ) воспользуемся формулой дискриминанта и квадратного уравнения. Давайте рассмотрим пошагово, как мы можем это сделать.
Шаг 1: Определение коэффициентов
В уравнении общего вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) наши коэффициенты равны:
- ( a = 3 )
- ( b = -13 )
- ( c = 4 )
Шаг 2: Вычисление дискриминанта
Дискриминант ( D ) рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим наши значения:
[
D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4
]
[
D = 169 - 48
]
[
D = 121
]
Шаг 3: Анализ дискриминанта
Дискриминант ( D = 121 ) больше нуля, это значит, что у нашего уравнения два различных корня.
Шаг 4: Найти корни уравнения
Корни квадратного уравнения находят по формуле:
[
x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
x_{1, 2} = \frac{-(-13) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3}
]
[
x_{1, 2} = \frac{13 \pm 11}{6}
]
Это даёт нам два решения:
- Для ( x_1 ):
[
x_1 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4
]
- Для ( x_2 ):
[
x_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, уравнение ( 3x^2 - 13x + 4 = 0 ) имеет два корня:
[
x_1 = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1}{3}
]
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать квадратные уравнения с помощью дискриминанта! Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.
