|x-y-3|+x2-4xy+4y2=0
Для решения уравнения \(|x - y - 3| + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0\) будем разбираться шаг за шагом.
Шаг 1: Изучение уравнения
У нас есть два выражения, первое — это модуль, второе — это квадратное двучленное выражение. Заметим, что модуль всегда неотрицателен, то есть \(|x - y - 3| \geq 0\). Также рассмотрим вторую часть:
\[ x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2 \]
Это квадрат, который также не может быть отрицательным. Таким образом, мы имеем:
\[ |x - y - 3| + (x - 2y)^2 = 0 \]
Шаг 2: Анализ условий
Поскольку сумма двух неотрицательных значений равна нулю, это возможно только в том случае, если каждое из них равно нулю:
- \(|x - y - 3| = 0\)
- \((x - 2y)^2 = 0\)
Шаг 3: Раскрытие модулей
Решим первое уравнение:
\[ |x - y - 3| = 0 \implies x - y - 3 = 0 \implies x - y = 3 \implies x = y + 3 \]
Теперь использовав второе уравнение:
\[ (x - 2y)^2 = 0 \implies x - 2y = 0 \implies x = 2y \]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система уравнений:
- \(x = y + 3\)
- \(x = 2y\)
Подставим второе уравнение в первое:
\[ 2y = y + 3 \]
Вычтем \(y\) с обеих сторон:
\[ 2y - y = 3 \implies y = 3 \]
Теперь, используя значение \(y\), найдем \(x\):
\[ x = 2y = 2 \cdot 3 = 6 \]
Шаг 5: Запись ответа
Таким образом, мы получили решение:
\[ (x, y) = (6, 3) \]
Подведение итогов
Решение уравнения \(|x - y - 3| + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0\) приводит нас к единственному решению \((x, y) = (6, 3)\). Это решение удовлетворяет всем условиям, установленным в уравнении.
