15 ) Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 24 минуты, а затем…

Задача 15

Условие: Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Расстояние между городами — 76 км. Скорость первого велосипедиста — 26 км/ч, а второго — 10 км/ч. Первый велосипедист сделал остановку на 24 минуты. Нужно определить расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение:

1. Обозначим переменные:

   • Пусть \( d \) — расстояние от первого города до места встречи.
   • Тогда расстояние от второго города до места встречи составит \( 76 - d \).

2. Скорости велосипедистов:

   • Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = 26 \) км/ч.
   • Скорость второго велосипедиста: \( v_2 = 10 \) км/ч.

3. Когда велосипедисты встретятся:
   Первый велосипедист делает остановку на 24 минуты. Это значит, что он фактически едет меньше времени по сравнению со вторым. Для того, чтобы вычислить общее время поездки, используем следующее:

   Обозначим время, что оба велосипедиста ехали до встречи без остановки как \( t \) часов. Тогда:

   • Первая часть пути, которую проедет первый велосипедист: \[ d = v_1 \cdot (t - \frac{24}{60}) \quad \text{(минуту нужно перевести в часы)} \]
   • Вторая часть пути, которую проедет второй велосипедист: \[ 76 - d = v_2 \cdot t \]

4. Составим систему уравнений: \[ d = 26 \cdot \left(t - \frac{2}{5}\right) \quad \text{(1)} \] \[ 76 - d = 10t \quad \text{(2)} \]

5. Подставим (1) в (2): \[ 76 - 26 \cdot \left(t - \frac{2}{5}\right) = 10t \] Раскроем скобки: \[ 76 - 26t + \frac{52}{5} = 10t \] Приведем к одному знаменателю: \[ 76 - 26t + 10.4 = 10t \] Это упрощается до: \[ 86.4 = 36t \] Тогда: \[ t = \frac{86.4}{36} = 2.4 \text{ часа} \]

6. Выясним расстояние до встречи (d): Подставим \( t \) в одно из уравнений, например, в (1): \[ d = 26 \cdot \left(2.4 - \frac{2}{5}\right) \] Сначала упростим: \[ 2.4 - 0.4 = 2 \] Теперь находим \( d \): \[ d = 26 \cdot 2 = 52 \text{ км} \]

Ответ: Расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи составляет \( 76 - 52 = 24 \) км.

Задача 16

Условие: Правильный игральный кубик бросают два раза. На сколько вероятность события «сумма выпавших очков равна 8» больше вероятности события «сумма очков равна 4»?

Решение:

1. Общее количество возможных исходов: При двух бросках кубика общее количество возможных исходов равно \( 6 \times 6 = 36 \).

2. Вероятность события «сумма равна 8»:
   Найдем все возможные пары, которые дают в сумме 8:

   • (2, 6)
   • (3, 5)
   • (4, 4)
   • (5, 3)
   • (6, 2)

   Итак, соответствующие варианты (5 возможностей).

   Вероятность события «сумма равна 8»: \[ P(8) = \frac{5}{36} \]

3. Вероятность события «сумма равна 4»:
   Найдем все возможные пары, которые дают в сумме 4:

   • (1, 3)
   • (2, 2)
   • (3, 1)

   Соответствующие варианты (3 возможности).

   Вероятность события «сумма равна 4»: \[ P(4) = \frac{3}{36} \]

4. Теперь найдем разность вероятностей: \[ P(8) - P(4) = \frac{5}{36} - \frac{3}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]

Ответ: Вероятность события «сумма выпавших очков равна 8» больше вероятности события «сумма очков равна 4» на \( \frac{1}{18} \).