найдите длины диагоналей параллелограмма,построенного на векторах p=2а+bи q=3b-a, если |а|=3,|b|=2,а угол(а^b)=2п/3

Для решения задачи найдем длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \). Напомним, что векторы заданы следующим образом:

• \( \vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b} \)
• \( \vec{q} = 3\vec{b} - \vec{a} \)

Для нахождения длин диагоналей параллелограмма, нужно сначала найти векторы диагоналей:

1. Вектор первой диагонали \( \vec{d_1} = \vec{p} + \vec{q} \)
2. Вектор второй диагонали \( \vec{d_2} = \vec{p} - \vec{q} \)

Шаг 1: Найти векторы диагоналей

1.1. Найдем \( \vec{d_1} \)

\[ \vec{d_1} = \vec{p} + \vec{q} = (2\vec{a} + \vec{b}) + (3\vec{b} - \vec{a}) = (2\vec{a} - \vec{a}) + (\vec{b} + 3\vec{b}) = \vec{a} + 4\vec{b} \]

1.2. Найдем \( \vec{d_2} \)

\[ \vec{d_2} = \vec{p} - \vec{q} = (2\vec{a} + \vec{b}) - (3\vec{b} - \vec{a}) = (2\vec{a} + \vec{b}) - 3\vec{b} + \vec{a} = (2\vec{a} + \vec{a}) + (\vec{b} - 3\vec{b}) = 3\vec{a} - 2\vec{b} \]

Шаг 2: Найти длины диагоналей

Теперь нам нужно найти длины \( |\vec{d_1}| \) и \( |\vec{d_2}| \).

2.1. Длина первой диагонали \( |\vec{d_1}| \)

\[ |\vec{d_1}| = |\vec{a} + 4\vec{b}| \] По формуле для длины суммы векторов:

\[ |\vec{d_1}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |4\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||4\vec{b}|\cos(\theta)} \] где \( \theta \) — угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Нам необходимо найти \( \cos(\theta) \). У нас есть угол \( \angle(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2\pi}{3} \), откуда:

\[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]

Теперь подставим известные длины векторов:

• \( |\vec{a}| = 3 \)
• \( |\vec{b}| = 2 \)

Теперь подсчитаем:

\[ |\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + (4 \cdot 2)^2 + 2 \cdot 3 \cdot (4 \cdot 2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{9 + 64 - 24} = \sqrt{49} = 7 \]

2.2. Длина второй диагонали \( |\vec{d_2}| \)

\[ |\vec{d_2}| = |3\vec{a} - 2\vec{b}| \] По аналогии:

\[ |\vec{d_2}| = \sqrt{|3\vec{a}|^2 + |-2\vec{b}|^2 + 2|3\vec{a}||-2\vec{b}|\cos(\theta)} \] \[ = \sqrt{(3 \cdot 3)^2 + (-2 \cdot 2)^2 + 2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{81 + 16 - 18} = \sqrt{79} \]

Ответ

Длины диагоналей параллелограмма:

• Первая диагональ \( |\vec{d_1}| = 7 \)
• Вторая диагональ \( |\vec{d_2}| = \sqrt{79} \approx 8.89 \)

Таким образом, мы нашли длины диагоналей параллелограмма, используя свойства векторов и косинус угла между ними.