6x3 dx

Для решения задачи \( \int 6x^3 \, dx \) мы будем использовать правило интегрирования степенной функции. Давайте разберем решение пошагово. ### Шаг 1: Напоминаем правило интегрирования Правило интегрирования для степенной функции \( x^n \) гласит, что: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] где \( C \) — константа интегрирования, а \( n \) — любое число, не равное -1. ### Шаг 2: Применяем правило к нашей функции В нашей задаче у нас есть \( 6x^3 \). Мы можем вынести постоянный множитель (в данном случае 6) за знак интеграла: \[ \int 6x^3 \, dx = 6 \int x^3 \, dx \] ### Шаг 3: Интегрируем \( x^3 \) Теперь мы можем интегрировать \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] ### Шаг 4: Умножаем на 6 Теперь возвращаемся к нашему выражению с 6: \[ 6 \int x^3 \, dx = 6 \left( \frac{x^4}{4} + C \right) \] Это упростится до: \[ = \frac{6x^4}{4} + 6C \] ### Шаг 5: Упрощаем Теперь упрощаем \( \frac{6x^4}{4} \): \[ \frac{6x^4}{4} = \frac{3x^4}{2} \] Поскольку \( 6C \) так же можно записать как новую константу (например, просто \( C \)), окончательный результат будет: \[ \int 6x^3 \, dx = \frac{3x^4}{2} + C \] ### Итог Таким образом, интеграл \( \int 6x^3 \, dx \) равен \( \frac{3x^4}{2} + C \), где \( C \) — произвольная константа.