6x3 dx
Для решения задачи \( \int 6x^3 \, dx \) мы будем использовать правило интегрирования степенной функции. Давайте разберем решение пошагово.
Шаг 1: Напоминаем правило интегрирования
Правило интегрирования для степенной функции \( x^n \) гласит, что:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
где \( C \) — константа интегрирования, а \( n \) — любое число, не равное -1.
Шаг 2: Применяем правило к нашей функции
В нашей задаче у нас есть \( 6x^3 \). Мы можем вынести постоянный множитель (в данном случае 6) за знак интеграла:
\[ \int 6x^3 \, dx = 6 \int x^3 \, dx \]
Шаг 3: Интегрируем \( x^3 \)
Теперь мы можем интегрировать \( x^3 \):
\[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \]
Шаг 4: Умножаем на 6
Теперь возвращаемся к нашему выражению с 6:
\[ 6 \int x^3 \, dx = 6 \left( \frac{x^4}{4} + C \right) \]
Это упростится до:
\[ = \frac{6x^4}{4} + 6C \]
Шаг 5: Упрощаем
Теперь упрощаем \( \frac{6x^4}{4} \):
\[ \frac{6x^4}{4} = \frac{3x^4}{2} \]
Поскольку \( 6C \) так же можно записать как новую константу (например, просто \( C \)), окончательный результат будет:
\[ \int 6x^3 \, dx = \frac{3x^4}{2} + C \]
Итог
Таким образом, интеграл \( \int 6x^3 \, dx \) равен \( \frac{3x^4}{2} + C \), где \( C \) — произвольная константа.
