в сферу радиуса 3 дм вписаны правильная четырёхугольная призма, высота которой 2 дм. Найдите сторону основания призмы и площадь поверхности сферы

Чтобы решить поставленную задачу, давайте разберем каждый ее элемент по порядку.

Шаг 1: Площадь поверхности сферы

Сначала нам нужно найти площадь поверхности сферы. Формула для нахождения площади поверхности сферы выглядит следующим образом:

\[ S = 4 \pi r^2 \]

где:

• \(S\) — площадь поверхности сферы,
• \(r\) — радиус сферы.

В нашей задаче радиус сферы равен 3 дм. Подставим это значение в формулу:

\[ S = 4 \pi (3^2) = 4 \pi (9) = 36 \pi \]

Таким образом, площадь поверхности сферы будет равна \(36 \pi \, \text{дм}^2\), что примерно равно \(113.1 \, \text{дм}^2\) (при использовании \(\pi \approx 3.14\)).

Шаг 2: Найти сторону основания призмы

Теперь мы перейдем ко второй части задачи — нахождению стороны основания правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу. Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание, а высота призмы равна 2 дм.

Когда призма вписана в сферу, расстояние от центра сферы до вершины призмы — это радиус сферы. В данном случае, центр сферы находится в центре основания призмы, а высота призмы делит ее на две равные части.

Геометрические соотношения

Рассмотрим как строится вписанный квадрат в круг. Половина высоты призмы отнимается от радиуса сферы:

1. Высота = \(2 \, \text{дм}\), следовательно, половина высоты будет равна \(1 \, \text{дм}\).
2. Радиус сферы = \(3 \, \text{дм}\), тогда радиус основания круга (или описанного вокруг квадрата) равен радиусу сферы минус половина высоты призмы:

\[ r_{основания} = r_{сферы} - \frac{\text{высота}}{2} = 3 - 1 = 2 \, \text{дм} \]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону \(a\) квадрата (основания призмы):

Для правильного квадрата радиус описанной окружности \(R\) равен:

\[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

где \(a\) — длина стороны квадрата. Установим равенство:

\[ 2 = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ 4 = a \sqrt{2} \]

Теперь разделим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\[ a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{дм} \]

Ответ

Таким образом, длина стороны основания призмы составляет \(2\sqrt{2} \, \text{дм}\), а площадь поверхности сферы равна \(36 \pi \, \text{дм}^2\) (примерно \(113.1 \, \text{дм}^2\)).