неравенство
Чтобы решить неравенство, сначала нужно рассмотреть выражение:
\[ \frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0 \]
На самом деле, это уравнение, а не неравенство. Давайте решим его:
Шаг 1: Найти нули числителя
Числитель: \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).
Решим это квадратное уравнение:
- Определим коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 3\).
- Найдём дискриминант (D):
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1 \]
- Найдём корни уравнения используя формулу:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
\[ x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
Шаг 2: Найти нули знаменателя
Знаменатель: \(10x - 5 = 0\).
Решим уравнение:
\[ 10x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Исследовать знаки и точки
Поскольку у нас дробь, нужно исследовать знак разности в интервалах, определяемых найденными корнями и значением, при котором знаменатель обращается в ноль.
Точки: \(x = \frac{1}{2}\), \(x = 1\), \(x = \frac{3}{2}\).
Разбиваем числовую прямую на интервалы:
- \((-\infty, \frac{1}{2})\)
- \((\frac{1}{2}, 1)\)
- \((1, \frac{3}{2})\)
- \((\frac{3}{2}, \infty)\)
Шаг 4: Определить знаки на интервалах
Выражение \(\frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5}\) не определено в \(x = \frac{1}{2}\) (знаменатель ноль). Мы исследуем его знаки в полученных интервалах:
Выберите любую точку внутри каждого интервала, чтобы определить знак:
- \((-\infty, \frac{1}{2})\): выберем \(x = 0\), подставляем: \(\frac{2(0)^2 - 5(0) + 3}{10(0) - 5} = \frac{3}{-5} < 0\)
- \((\frac{1}{2}, 1)\): выберем \(x = 0.7\), подставляем: \(\frac{2(0.7)^2 - 5(0.7) + 3}{10(0.7) - 5} > 0\)
- \((1, \frac{3}{2})\): выберем \(x = 1.2\), подставляем: \(\frac{2(1.2)^2 - 5(1.2) + 3}{10(1.2) - 5} < 0\)
- \((\frac{3}{2}, \infty)\): выберем \(x = 2\), подставляем: \(\frac{2(2)^2 - 5(2) + 3}{10(2) - 5} > 0\)
Вывод
Уравнение \( \frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0\) имеет решения в точках, где числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть при \(x = 1\) и \(x = \frac{3}{2}\).
Знак неравенства изменяется в интервалах:
- \((-\infty, \frac{1}{2})\) и \((1, \frac{3}{2})\): отрицательный.
- \((\frac{1}{2}, 1)\) и \((\frac{3}{2}, \infty)\): положительный.
