В прямоугольном треугольнике АВС угол С =90°, биссектриса АК =18 см. расстояние от точки К до прямой АВ=9 см найти угол АКВ

Чтобы найти угол \( \angle AKB \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с заданными условиями, давайте пошагово разберем задачу. ### Дано: - Прямоугольный треугольник \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \). - Биссектрисса \( AK = 18 \) см. - Расстояние от точки \( K \) до прямой \( AB = 9 \) см. ### Решение: 1. **Определим обозначение углов и сторон:** - Обозначим угол \( A = \alpha \) и угол \( B = \beta \). - Так как это прямоугольный треугольник, мы знаем, что \( \alpha + \beta = 90^\circ \). 2. **Используем свойства биссектрисы:** Биссектрисса \( AK \) делит угол \( \angle CAB \) пополам. Угол \( \angle A \) сложится из двух равных частей: \[ \angle KAB = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle KAC = \frac{\alpha}{2} \] 3. **Используем формулу для биссектрисы:** В любом треугольнике длина биссектрисы относительно угла можно выразить через стороны: \[ AK^2 = AB \cdot AC \left(1 - \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}\right) \] Но поскольку у нас есть расстояние от точки \( K \) до катета \( AB \), это приближает нас к треугольнику \( AKB \), где знаем высоту \( h = 9 \) см. 4. **Находим стороны треугольника:** Расстояние от \( K \) до \( AB \) - это высота, проведенная из точки \( K \) к основанию \( AB \): - Используя порой треугольников, \( AK \) будет гипотенузой, а \( K \) - высота. 5. **Используем тангенс для нахождения угла \( AKB \):** Используем отношение: \[ \tan \angle AKB = \frac{h}{BK} \] где \( h = 9 \), нужно найти \( BK \). 6. **Используем теорему Пифагора:** \[ AK^2 = AK^2 + h^2 = 18^2 + 9^2 = 324 + 81 = 405 \] Следовательно, \( BK = \sqrt{405} \). 7. **Находим угол \( AKB \):** \[ \tan \angle AKB = \frac{9}{BK} \] 8. **Решаем:** Сначала найдём \( BK = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} \), затем подставляем в тангенс: \[ \tan \angle AKB = \frac{9}{9\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] 9. **Находим угол:** Если \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \), то \( \angle AKB \approx 11.31^\circ \). ### Ответ: Угол \( \angle AKB \approx 11.31^\circ \).