дана геометрическая прогрессия Bn Найдите a)B5,если B1=9,q=1/3 б)S5,если B1=7,q=-1 в)B2, если B1=3,B3=6,75

Для решения задачи о геометрической прогрессии разберемся с основными формулами и понятиями.

Основные понятия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем умножения предыдущего числа на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (обозначается буквой q).

• Общая форма \( B_n \) n-го элемента геометрической прогрессии: \[ B_n = B_1 \cdot q^{n-1} \] где \( B_1 \) — первый элемент, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — номер элемента.

• Сумма первых n элементов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: \[ S_n = B_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{если } q \neq 1 \] Если \( q = 1 \), то: \[ S_n = n \cdot B_1 \]

Теперь решим каждую из задач.

а) Найдите \( B_5 \), если \( B_1 = 9, q = \frac{1}{3} \)

Используем формулу для n-го элемента: \[ B_n = B_1 \cdot q^{n-1} \]

Подставляем известные значения: \[ B_5 = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5-1} = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4} = 9 \cdot \frac{1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \]

б) Найдите \( S_5 \), если \( B_1 = 7, q = -1 \)

Для нахождения суммы используем формулу для суммы первых n членов: \[ S_5 = B_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

Подставляем значения: \[ S_5 = 7 \cdot \frac{1 - (-1)^5}{1 - (-1)} = 7 \cdot \frac{1 - (-1)}{1 + 1} = 7 \cdot \frac{2}{2} = 7 \cdot 1 = 7 \]

в) Найдите \( B_2 \), если \( B_1 = 3, B_3 = 6.75 \)

Сначала найдем знаменатель прогрессии q. Используем формулу для \( B_3 \): \[ B_3 = B_1 \cdot q^{3-1} = B_1 \cdot q^2 \] Подставим известные значения: \[ 6.75 = 3 \cdot q^2 \implies q^2 = \frac{6.75}{3} = 2.25 \implies q = \sqrt{2.25} = 1.5 \text{ (берем положительное значение, так как это типичный случай)} \]

Теперь можем найти \( B_2 \): \[ B_2 = B_1 \cdot q^{2-1} = 3 \cdot 1.5 = 4.5 \]

Ответы:

а) \( B_5 = \frac{1}{9} \)
б) \( S_5 = 7 \)
в) \( B_2 = 4.5 \)