ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​  лежит квадрат со стороной  4 квадратных корня из 3 ​ . Точки  M M и  N N — середины рёбер  A B AB и  A D AD соответственно. Найди угол между плоскостями  ( M C 1 N ) (MC 1 ​ N) и  ( A B C ) (ABC), если  AA 1 ​ =3 квадратных корня из 2 ​ .

Чтобы решить задачу, начнем с анализа предоставленных данных и определения необходимых шагов для нахождения угла между плоскостями \( (MC_1N) \) и \( (ABC) \). ### Шаг 1: Определение координат точек Рассмотрим квадрат \( ABCD \) и обозначим его координаты: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(4\sqrt{3}, 0, 0) \) - \( C(4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) \) - \( D(0, 4\sqrt{3}, 0) \) Точки \( M \) и \( N \) — середины рёбер \( AB \) и \( AD \), соответственно: - \( M\left(\frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, 0, 0\right) = (2\sqrt{3}, 0, 0) \) - \( N\left(0, \frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (0, 2\sqrt{3}, 0) \) Плоскость \( (A, B, C) \) остается на оси \( Z = 0 \). Теперь нам нужно определить координаты точки \( A_1 \). ### Шаг 2: Определение координат точки \( A_1 \) Дано, что \( AA_1 = 3\sqrt{2} \). Поскольку \( A(0, 0, 0) \), то: - \( A_1(0, 0, 3\sqrt{2}) \) ### Шаг 3: Определение нормалей плоскостей Для нахождения угла между плоскостями, найдем нормальные векторы к обеим плоскостям. **Плоскость \( (A, B, C) \)**: - Вектор \( \overrightarrow{AB} = (4\sqrt{3}, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4\sqrt{3}, 0, 0) \) - Вектор \( \overrightarrow{AC} = (4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) \) Используем векторное произведение для нахождения нормали. \[ \mathbf{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 4\sqrt{3} & 4\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 16\sqrt{3}) \] Итак, \( \mathbf{n_1} = (0, 0, 16\sqrt{3}) \). **Плоскость \( (M, C_1, N) \)**: - Вектор \( \overrightarrow{MC_1} = C_1 - M = (4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) - (2\sqrt{3}, 0, 0) = (4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) = (2\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) \) - Вектор \( \overrightarrow{MN} = N - M = (0, 2\sqrt{3}, 0) - (2\sqrt{3}, 0, 0) = (-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0) \) Теперь находим нормаль для плоскости \( (M, C_1, N) \): \[ \mathbf{n_2} = \overrightarrow{MC_1} \times \overrightarrow{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2\sqrt{3} & 4\sqrt{3} & 0 \\ -2\sqrt{3} & 2\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 12\sqrt{3}) \] Итак, \( \mathbf{n_2} = (0, 0, 12\sqrt{3}) \). ### Шаг 4: Нахождение угла между плоскостями Угол между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормалей: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (0, 0, 16\sqrt{3}) \cdot (0, 0, 12\sqrt{3}) = 192 \] Теперь найдем длины векторов: \[ |\mathbf{n_1}| = |(0, 0, 16\sqrt{3})| = 16\sqrt{3}, \quad |\mathbf{n_2}| = |(0, 0, 12\sqrt{3})| = 12\sqrt{3} \] Теперь можем сосчитать \( |\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}| = 16\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 576 \). Теперь найдём косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{192}{576} = \frac{1}{3} \] ### Шаг 5: Нахождение угла Теперь воспользуемся арккосином для нахождения угла: \[ \theta = \arccos\left( \frac{1}{3} \right) \] Таким образом, угол между плоскостями \( (MC_1N) \) и \( (ABC) \) равен \( \theta = \arccos\left( \frac{1}{3} \right) \). ### Заключение Таким образом, мы нашли угол между двумя плоскостями. Если есть вопросы по каждому шагу, пожалуйста, уточните, и я помогу вам!