ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ лежит квадрат со стороной 4 квадратных корня из 3 ​ . Точки M M и N N — середины рёбер A B AB и A D AD соответственно. Найди угол между плоскостями ( M…

Чтобы решить задачу, начнем с анализа предоставленных данных и определения необходимых шагов для нахождения угла между плоскостями \( (MC_1N) \) и \( (ABC) \).

Шаг 1: Определение координат точек

Рассмотрим квадрат \( ABCD \) и обозначим его координаты:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(4\sqrt{3}, 0, 0) \)
• \( C(4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) \)
• \( D(0, 4\sqrt{3}, 0) \)

Точки \( M \) и \( N \) — середины рёбер \( AB \) и \( AD \), соответственно:

• \( M\left(\frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, 0, 0\right) = (2\sqrt{3}, 0, 0) \)
• \( N\left(0, \frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (0, 2\sqrt{3}, 0) \)

Плоскость \( (A, B, C) \) остается на оси \( Z = 0 \). Теперь нам нужно определить координаты точки \( A_1 \).

Шаг 2: Определение координат точки \( A_1 \)

Дано, что \( AA_1 = 3\sqrt{2} \). Поскольку \( A(0, 0, 0) \), то:

• \( A_1(0, 0, 3\sqrt{2}) \)

Шаг 3: Определение нормалей плоскостей

Для нахождения угла между плоскостями, найдем нормальные векторы к обеим плоскостям.

Плоскость \( (A, B, C) \):

• Вектор \( \overrightarrow{AB} = (4\sqrt{3}, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4\sqrt{3}, 0, 0) \)
• Вектор \( \overrightarrow{AC} = (4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) \)

Используем векторное произведение для нахождения нормали.

\[ \mathbf{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 4\sqrt{3} & 4\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 16\sqrt{3}) \]

Итак, \( \mathbf{n_1} = (0, 0, 16\sqrt{3}) \).

Плоскость \( (M, C_1, N) \):

• Вектор \( \overrightarrow{MC_1} = C_1 - M = (4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) - (2\sqrt{3}, 0, 0) = (4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) = (2\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 0) \)
• Вектор \( \overrightarrow{MN} = N - M = (0, 2\sqrt{3}, 0) - (2\sqrt{3}, 0, 0) = (-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0) \)

Теперь находим нормаль для плоскости \( (M, C_1, N) \):

\[ \mathbf{n_2} = \overrightarrow{MC_1} \times \overrightarrow{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2\sqrt{3} & 4\sqrt{3} & 0 \\ -2\sqrt{3} & 2\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 12\sqrt{3}) \]

Итак, \( \mathbf{n_2} = (0, 0, 12\sqrt{3}) \).

Шаг 4: Нахождение угла между плоскостями

Угол между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормалей:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение:

\[ \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (0, 0, 16\sqrt{3}) \cdot (0, 0, 12\sqrt{3}) = 192 \]

Теперь найдем длины векторов:

\[ |\mathbf{n_1}| = |(0, 0, 16\sqrt{3})| = 16\sqrt{3}, \quad |\mathbf{n_2}| = |(0, 0, 12\sqrt{3})| = 12\sqrt{3} \]

Теперь можем сосчитать \( |\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}| = 16\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 576 \).

Теперь найдём косинус угла:

\[ \cos \theta = \frac{192}{576} = \frac{1}{3} \]

Шаг 5: Нахождение угла

Теперь воспользуемся арккосином для нахождения угла:

\[ \theta = \arccos\left( \frac{1}{3} \right) \]

Таким образом, угол между плоскостями \( (MC_1N) \) и \( (ABC) \) равен \( \theta = \arccos\left( \frac{1}{3} \right) \).

Заключение

Таким образом, мы нашли угол между двумя плоскостями. Если есть вопросы по каждому шагу, пожалуйста, уточните, и я помогу вам!