Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Чтобы решить задачу, используем формулу вероятности для биномиального распределения. Вероятность того, что монета выпала решкой ровно \( k \) раз при \( n \) подбрасываниях, можно найти с помощью следующей формулы:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) - общее количество подбрасываний (в нашем случае 16),
• \( k \) - количество успешных исходов (выпадение решки),
• \( p \) - вероятность успеха (в нашем случае для честной монеты \( p = 0.5 \)),
• \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь давайте вычислим вероятности для обоих событий: "монета выпала решкой ровно 10 раз" и "монета выпала решкой ровно 13 раз".

1. Вероятность для 10 решек:

Подставим значения в формулу:

\[ P(X = 10) = \binom{16}{10} \cdot 0.5^{10} \cdot 0.5^{6} = \binom{16}{10} \cdot 0.5^{16} \]

Сначала найдем биномиальный коэффициент \(\binom{16}{10}\):

\[ \binom{16}{10} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 \]

Теперь можем подставить:

\[ P(X = 10) = 8008 \cdot 0.5^{16} \]

2. Вероятность для 13 решек:

Аналогично вычислим \(P(X = 13)\):

\[ P(X = 13) = \binom{16}{13} \cdot 0.5^{13} \cdot 0.5^{3} = \binom{16}{13} \cdot 0.5^{16} \]

Находим биномиальный коэффициент \(\binom{16}{13}\):

\[ \binom{16}{13} = \binom{16}{3} = \frac{16!}{13! \cdot 3!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \]

Таким образом, подставляя найдённое значение:

\[ P(X = 13) = 560 \cdot 0.5^{16} \]

3. Сравнение вероятностей:

Теперь вычислим, во сколько раз вероятность события \( P(X = 10) \) больше, чем вероятность события \( P(X = 13) \):

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot 0.5^{16}}{560 \cdot 0.5^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Упрощаем дробь:

\[ \frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 16}{560 \div 16} = \frac{500.5}{35} = \frac{8008}{560} \approx 14.29 \]

Таким образом, вероятность того, что монета выпадет решкой ровно 10 раз, примерно в 14.29 раз больше, чем вероятность того, что она выпадет решкой ровно 13 раз.

Ответ:

Вероятность того, что монета выпала решкой ровно 10 раз, примерно в 14.29 раз больше, чем вероятность того, что она выпала решкой ровно 13 раз.