Чтобы решить задачу, используем формулу вероятности для биномиального распределения. Вероятность того, что монета выпала решкой ровно ( k ) раз при ( n ) подбрасываниях, можно найти с помощью следующей формулы:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( n ) - общее количество подбрасываний (в нашем случае 16),
- ( k ) - количество успешных исходов (выпадение решки),
- ( p ) - вероятность успеха (в нашем случае для честной монеты ( p = 0.5 )),
- (\binom{n}{k}) - биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Теперь давайте вычислим вероятности для обоих событий: "монета выпала решкой ровно 10 раз" и "монета выпала решкой ровно 13 раз".
1. Вероятность для 10 решек:
Подставим значения в формулу:
[
P(X = 10) = \binom{16}{10} \cdot 0.5^{10} \cdot 0.5^{6} = \binom{16}{10} \cdot 0.5^{16}
]
Сначала найдем биномиальный коэффициент (\binom{16}{10}):
[
\binom{16}{10} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008
]
Теперь можем подставить:
[
P(X = 10) = 8008 \cdot 0.5^{16}
]
2. Вероятность для 13 решек:
Аналогично вычислим (P(X = 13)):
[
P(X = 13) = \binom{16}{13} \cdot 0.5^{13} \cdot 0.5^{3} = \binom{16}{13} \cdot 0.5^{16}
]
Находим биномиальный коэффициент (\binom{16}{13}):
[
\binom{16}{13} = \binom{16}{3} = \frac{16!}{13! \cdot 3!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560
]
Таким образом, подставляя найдённое значение:
[
P(X = 13) = 560 \cdot 0.5^{16}
]
3. Сравнение вероятностей:
Теперь вычислим, во сколько раз вероятность события ( P(X = 10) ) больше, чем вероятность события ( P(X = 13) ):
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot 0.5^{16}}{560 \cdot 0.5^{16}} = \frac{8008}{560}
]
Упрощаем дробь:
[
\frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 16}{560 \div 16} = \frac{500.5}{35} = \frac{8008}{560} \approx 14.29
]
Таким образом, вероятность того, что монета выпадет решкой ровно 10 раз, примерно в 14.29 раз больше, чем вероятность того, что она выпадет решкой ровно 13 раз.
Ответ:
Вероятность того, что монета выпала решкой ровно 10 раз, примерно в 14.29 раз больше, чем вероятность того, что она выпала решкой ровно 13 раз.
