(х+5)⁴+(х+5)²-12=0 реши через замену

Для решения уравнения \((x + 5)^4 + (x + 5)^2 - 12 = 0\) мы можем использовать замену переменной, чтобы упростить выражение. Давайте выполню эту замену и решим уравнение шаг за шагом.

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим \( y = (x + 5)^2 \). Таким образом, уравнение можно переписать как:

\[ y^2 + y - 12 = 0 \]

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( y^2 + y - 12 = 0 \). Для этого можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \). Подставим эти значения в формулу:

1. Находим дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

2. Теперь находим корни: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

   Это приводит к двум решениям для \(y\):

   • \(y_1 = \frac{6}{2} = 3\)
   • \(y_2 = \frac{-8}{2} = -4\)

Шаг 3: Возвращение к переменной \(x\)

Теперь подставляем значения \(y\) обратно в уравнение с заменой:

1. Для \(y_1 = 3\): \[ (x + 5)^2 = 3 \] Извлекая квадратный корень, получаем: \[ x + 5 = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x + 5 = -\sqrt{3} \] Следовательно, \[ x = -5 + \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -5 - \sqrt{3} \]

2. Для \(y_2 = -4\): \[ (x + 5)^2 = -4 \] Здесь нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ

Таким образом, единственные действительные решения нашего исходного уравнения:

\[ x = -5 + \sqrt{3} \quad \text{и} \quad x = -5 - \sqrt{3} \]

Если у вас есть какие-либо вопросы или понадобится дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!