Найдите наибольшее натуральное число меньше 1000 которое может быть представлено в виде суммы двух трёх и пяти последовательных натуральных чисел
Чтобы найти наибольшее натуральное число меньше 1000, которое может быть представлено в виде суммы двух, трёх и пяти последовательных натуральных чисел, давайте сначала разберёмся с каждой из этих сумм.
Сумма двух последовательных натуральных чисел: Если \( n \) – первое число, то сумма двух последовательных чисел \( n \) и \( n + 1 \) равна: \[ n + (n + 1) = 2n + 1 \] То есть, сумма двух последовательных чисел всегда нечётная.
Сумма трёх последовательных натуральных чисел: Если \( n \) – первое число, то сумма трёх последовательных чисел \( n \), \( n + 1 \) и \( n + 2 \) равна: \[ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) \] То есть, сумма трёх последовательных чисел всегда делится на 3.
Сумма пяти последовательных натуральных чисел: Если \( n \) – первое число, то сумма пяти последовательных чисел \( n \), \( n + 1 \), \( n + 2 \), \( n + 3 \) и \( n + 4 \) равна: \[ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2) \] То есть, эта сумма также всегда делится на 5.
Теперь нам нужно найти наибольшее натуральное число, меньшее 1000, которое может быть представлено одновременно как \( 2n + 1 \), \( 3(n + 1) \) и \( 5(n + 2) \). Чтобы оно подходило под эти условия, оно должно быть нечётным (для суммы двух последовательных чисел) и делиться на 3 и 5.
Поиск наибольшего числа
Найдём наибольшее число меньше 1000, которое нечётное и делится на 15: (Поскольку 3 и 5 взаимно простые, то наименьшее общее кратное — это 15.)
Наибольшее число, которое меньше 1000 и делится на 15: \[ 1000 \div 15 = 66.66 \quad \text{(берем целую часть)} \Rightarrow 66 \] Теперь умножаем 66 на 15: \[ 66 \times 15 = 990 \] Число 990 — чётное, поэтому берём предыдущее нечётное: \[ 990 - 15 = 975 \]
Проверка условий
Теперь проверим, выполняются ли условия для 975:
Сумма двух последовательных чисел: \[ 975 = 2n + 1 \implies 2n = 974 \implies n = 487 \] Значит, 975 может быть представлено как сумма двух последовательных чисел.
Сумма трёх последовательных чисел: \[ 975 = 3(n + 1) \implies n + 1 = 325 \implies n = 324 \] Значит, 975 может быть представлено как сумма трёх последовательных чисел.
Сумма пяти последовательных чисел: \[ 975 = 5(n + 2) \implies n + 2 = 195 \implies n = 193 \] Значит, 975 может быть представлено как сумма пяти последовательных чисел.
Таким образом, наибольшее натуральное число меньше 1000, которое может быть представлено в виде суммы двух, трёх и пяти последовательных натуральных чисел, это 975.
