Для решения данной задачи о прямом параллелепипеде, начнем с осознания того, что параллелепипед имеет основание в форме прямоугольника, у которого стороны равны 8 см и 15 см.
- Находим площадь основания параллелепипеда.
Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:
[
S_{основания} = a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) – стороны основания.
Подставляем данные:
[
S_{основания} = 8 , \text{см} \cdot 15 , \text{см} = 120 , \text{см}^2
]
- Определяем высоту параллелепипеда.
По условию задачи, меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Это наклонное сечение образуется диагоналями параллелепипеда (между сторонами основания и высотой).
Площадь диагонального сечения (в данном случае) можно выразить через площадь основания и высоту. Площадь диагонального сечения ( S ) можно приблизительно оценить как:
[
S = \sqrt{S_{основания}^2 + h^2}
]
где ( h ) — высота параллелепипеда.
Так как нам известна площадь диагонального сечения (130 см²):
[
130 = \sqrt{(120)^2 + h^2}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
130^2 = (120)^2 + h^2
]
[
16900 = 14400 + h^2
]
Вычтем 14400 из обеих сторон:
[
h^2 = 16900 - 14400 = 2500
]
Теперь найдем ( h ):
[
h = \sqrt{2500} = 50 , \text{см}
]
- Находим площадь поверхности параллелепипеда.
Площадь поверхности прямого параллелепипеда рассчитывается по формуле:
[
S_{поверхности} = 2 \cdot (S_{основания} + S_{боковых})
]
где ( S_{боковых} ) — площадь боковых граней.
Площадь боковых граней можно рассчитать как:
[
S_{боковых} = (a + b) \cdot h
]
где ( a ) и ( b ) — стороны основания, а ( h ) — высота.
Подставим известные значения:
[
S_{боковых} = (8 + 15) \cdot 50 = 23 \cdot 50 = 1150 , \text{см}^2
]
И теперь подставим все в формулу площади поверхности:
[
S_{поверхности} = 2 \cdot (120 + 1150) = 2 \cdot 1270 = 2540 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь поверхности данного прямого параллелепипеда составляет 2540 см².
