Геометрическая прогрессия задана условиями: Найдите сумму первых шести её членов. b1=-3, bn+1=-4bn

Для решения задачи о нахождении суммы первых шести членов геометрической прогрессии, заданной условиями \( b_1 = -3 \) и \( b_{n+1} = -4 b_n \), следуем пошагово. ### Шаг 1: Нахождение членов прогрессии Геометрическая прогрессия характеризуется тем, что каждый следующий член равен произведению предыдущего члена на постоянное отношение (коэффициент). 1. **Первый член:** \( b_1 = -3 \) 2. **Второй член:** \[ b_2 = -4 \cdot b_1 = -4 \cdot (-3) = 12 \] 3. **Третий член:** \[ b_3 = -4 \cdot b_2 = -4 \cdot 12 = -48 \] 4. **Четвертый член:** \[ b_4 = -4 \cdot b_3 = -4 \cdot (-48) = 192 \] 5. **Пятый член:** \[ b_5 = -4 \cdot b_4 = -4 \cdot 192 = -768 \] 6. **Шестой член:** \[ b_6 = -4 \cdot b_5 = -4 \cdot (-768) = 3072 \] Таким образом, первые шесть членов прогрессии: - \( b_1 = -3 \) - \( b_2 = 12 \) - \( b_3 = -48 \) - \( b_4 = 192 \) - \( b_5 = -768 \) - \( b_6 = 3072 \) ### Шаг 2: Нахождение суммы первых шести членов Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии \( S_n \) определяется по формуле: \[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — общее отношение, \( n \) — количество членов. В нашем случае: - \( b_1 = -3 \) - \( q = -4 \) - \( n = 6 \) Подставляем значения в формулу для суммы: \[ S_6 = -3 \frac{1 - (-4)^6}{1 - (-4)} \] ### Шаг 3: Вычисление 1. Сначала найдем \( (-4)^6 \): \[ (-4)^6 = 4096 \] 2. Подставляем это значение в формулу: \[ S_6 = -3 \frac{1 - 4096}{1 + 4} = -3 \frac{1 - 4096}{5} = -3 \frac{-4095}{5} \] 3. Упрощаем: \[ S_6 = -3 \cdot \frac{-4095}{5} = \frac{12285}{5} = 2457 \] ### Ответ Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( S_6 = 2457 \).