Геометрическая прогрессия задана условиями: Найдите сумму первых шести её членов. b1=-3, bn+1=-4bn

Для решения задачи о нахождении суммы первых шести членов геометрической прогрессии, заданной условиями \( b_1 = -3 \) и \( b_{n+1} = -4 b_n \), следуем пошагово.

Шаг 1: Нахождение членов прогрессии

Геометрическая прогрессия характеризуется тем, что каждый следующий член равен произведению предыдущего члена на постоянное отношение (коэффициент).

1. Первый член: \( b_1 = -3 \)
2. Второй член: \[ b_2 = -4 \cdot b_1 = -4 \cdot (-3) = 12 \]
3. Третий член: \[ b_3 = -4 \cdot b_2 = -4 \cdot 12 = -48 \]
4. Четвертый член: \[ b_4 = -4 \cdot b_3 = -4 \cdot (-48) = 192 \]
5. Пятый член: \[ b_5 = -4 \cdot b_4 = -4 \cdot 192 = -768 \]
6. Шестой член: \[ b_6 = -4 \cdot b_5 = -4 \cdot (-768) = 3072 \]

Таким образом, первые шесть членов прогрессии:

• \( b_1 = -3 \)
• \( b_2 = 12 \)
• \( b_3 = -48 \)
• \( b_4 = 192 \)
• \( b_5 = -768 \)
• \( b_6 = 3072 \)

Шаг 2: Нахождение суммы первых шести членов

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии \( S_n \) определяется по формуле: \[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — общее отношение, \( n \) — количество членов.

В нашем случае:

• \( b_1 = -3 \)
• \( q = -4 \)
• \( n = 6 \)

Подставляем значения в формулу для суммы: \[ S_6 = -3 \frac{1 - (-4)^6}{1 - (-4)} \]

Шаг 3: Вычисление

1. Сначала найдем \( (-4)^6 \): \[ (-4)^6 = 4096 \]

2. Подставляем это значение в формулу: \[ S_6 = -3 \frac{1 - 4096}{1 + 4} = -3 \frac{1 - 4096}{5} = -3 \frac{-4095}{5} \]

3. Упрощаем: \[ S_6 = -3 \cdot \frac{-4095}{5} = \frac{12285}{5} = 2457 \]

Ответ

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( S_6 = 2457 \).