стреле равна 0,7. Какова вероятность пяти попаданий при семи выстрелах? Ответ округлите до тысячных
Для решения данной задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (в данном случае — выстрелов), каждый из которых имеет два возможных исхода: попадание и промах.
Дано:
- Вероятность попадания (стрела) \( p = 0,7 \).
- Вероятность промаха \( q = 1 - p = 0,3 \).
- Общее количество выстрелов \( n = 7 \).
- Необходимое количество попаданий \( k = 5 \).
Формула биномиального распределения:
Биномиальная вероятность для \( k \) успешных исходов из \( n \) испытаний записывается как:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, который показывает, сколько способов можно выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний.
Шаги решения:
Вычислим биномиальный коэффициент \( C(7, 5) \): \[ C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]
Вычислим \( p^k \): \[ p^k = 0.7^5 = 0.16807 \]
Вычислим \( q^{n-k} \): \[ q^{n-k} = 0.3^{7-5} = 0.3^2 = 0.09 \]
Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения: \[ P(X = 5) = C(7, 5) \cdot p^5 \cdot q^{2} \]
Подставляем: \[ P(X = 5) = 21 \cdot 0.16807 \cdot 0.09 \]
Выполним умножение: \[ P(X = 5) = 21 \cdot 0.16807 \cdot 0.09 \approx 21 \cdot 0.0150663 \approx 0.3164 \]
Округлим до тысячных: \[ P(X = 5) \approx 0.316 \]
Таким образом, вероятность того, что при семи выстрелах будет ровно 5 попаданий, составляет приблизительно 0,316.
