Стреле равна 0,7. Какова вероятность пяти попаданий при семи выстрелах? Ответ округлите до тысячных

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (в данном случае — выстрелов), каждый из которых имеет два возможных исхода: попадание и промах. ### Дано: - Вероятность попадания (стрела) \( p = 0,7 \). - Вероятность промаха \( q = 1 - p = 0,3 \). - Общее количество выстрелов \( n = 7 \). - Необходимое количество попаданий \( k = 5 \). ### Формула биномиального распределения: Биномиальная вероятность для \( k \) успешных исходов из \( n \) испытаний записывается как: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, который показывает, сколько способов можно выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний. ### Шаги решения: 1. **Вычислим биномиальный коэффициент \( C(7, 5) \)**: \[ C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] 2. **Вычислим \( p^k \)**: \[ p^k = 0.7^5 = 0.16807 \] 3. **Вычислим \( q^{n-k} \)**: \[ q^{n-k} = 0.3^{7-5} = 0.3^2 = 0.09 \] 4. **Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения**: \[ P(X = 5) = C(7, 5) \cdot p^5 \cdot q^{2} \] Подставляем: \[ P(X = 5) = 21 \cdot 0.16807 \cdot 0.09 \] 5. **Выполним умножение**: \[ P(X = 5) = 21 \cdot 0.16807 \cdot 0.09 \approx 21 \cdot 0.0150663 \approx 0.3164 \] 6. **Округлим до тысячных**: \[ P(X = 5) \approx 0.316 \] Таким образом, вероятность того, что при семи выстрелах будет ровно 5 попаданий, составляет приблизительно **0,316**.