Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 , 4 см и 5 , 1 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Рассмотрим задачу о нахождении периметра равнобедренного треугольника, в который вписана окружность. ### Шаг 1: Обозначим стороны треугольника Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Обозначим основание треугольника как BC, а стороны AB и AC как a. Точка D — это точка касания вписанной окружности с боковой стороной AB, а точка E — с боковой стороной AC. Также обозначим точку F как точку касания с основанием BC. Согласно условию, точка D делит боковую сторону AB на отрезки, равные 3 см и 4 см. Обозначим отрезок AD = 3 см, а отрезок DB = 4 см. Точка E делит боковую сторону AC на отрезки 5 см и 1 см, то есть AE = 5 см, а EB = 1 см. ### Шаг 2: Определим длины сторон треугольника Из свойств касательных к окружности следует, что отрезки, соединяющие точки касания окружности с вершинами треугольника, равны. Это значит, что: - AD = AF = 3 см (касательные, проведенные из вершины A к окружности) - DB = DE = 4 см (касательные, проведенные из вершины B) - AE = AF = 5 см (касательные, проведенные из вершины C) - EB = EF = 1 см Таким образом, длины всех сторон равнобедренного треугольника можно найти следующим образом: - Сторона AB: \[ AB = AD + DB = 3 + 4 = 7 \text{ см} \] - Сторона AC: \[ AC = AE + EC = 5 + 1 = 6 \text{ см} \] ### Шаг 3: Находим сторону BC Сторона BC в равнобедренном треугольнике может быть найдена как сумма двух найденных отрезков, делящихся касательными: \[ BC = DB + EC = 4 + 1 = 5 \text{ см} \] ### Шаг 4: Находим периметр треугольника Периметр равнобедренного треугольника P можно найти по формуле: \[ P = AB + AC + BC \] Подставим найденные значения: \[ P = 7 + 7 + 5 = 19 \text{ см} \] ### Ответ Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см.