На доске нарисовано 160 многоугольников: треугольников, четырёхугольников, пятиугольников и шестиугольников. Если стереть 142 фигуры, обязательно будет стёрт хотя бы один…

Для решения задачи давайте сначала обозначим количество каждого типа многоугольников. Обозначим:

• \( T \) — количество треугольников,
• \( Q \) — количество четырёхугольников,
• \( P \) — количество пятиугольников,
• \( S \) — количество шестиугольников.

По условию задачи мы знаем, что:

\[ T + Q + P + S = 160 \]

Также нам дано, что если стереть 142 фигуры, то обязательно будет стёрт хотя бы один многоугольник каждого вида. Это означает, что в оставшихся 18 фигурах должно быть хотя бы один треугольник, один четырёхугольник, один пятиугольник и один шестиугольник.

Таким образом, из 18 оставшихся фигур мы можем сделать следующие выводы:

• Необходимо оставить как минимум 1 треугольник: \( T \geq 1 \)
• Необходимо оставить как минимум 1 четырёхугольник: \( Q \geq 1 \)
• Необходимо оставить как минимум 1 пятиугольник: \( P \geq 1 \)
• Необходимо оставить как минимум 1 шестиугольник: \( S \geq 1 \)

Таким образом, оставшиеся фигуры могут быть записаны как:

\[ T + Q + P + S = 18 \]

Но так как мы точно знаем, что в каждом виде должно оставаться хотя бы по одной фигуре, это означает:

\[ (T - 1) + (Q - 1) + (P - 1) + (S - 1) = 14 \]

Таким образом у нас есть новое уравнение:

\[ T + Q + P + S = 160 \]

\[ T + Q + P + S - 4 = 14 \]

Переписываем первое уравнение:

\[ T + Q + P + S = 160 \]

Теперь подставим:

\[ T + Q + P + S - 4 = 14 \implies T + Q + P + S = 18 + 4 = 22 \]

Это соотношение говорит нам о том, что в оставшихся 18 фигурах может быть максимум 18 - 4 = 14 фигур. Это максимизирует общее количество многоугольников с чётным числом сторон (4 и 6):

Теперь попробуем оценить, какое максимальное значение может принимать количество фигур с четным количеством сторон.

Если мы оставим как минимум по одной фигуре каждого вида (один треугольник, один четырёхугольник, один пятиугольник и один шестиугольник), то мы можем оставить:

• \(0\) треугольников,
• \(1\) четырёхугольник,
• \(1\) пятиугольник,
• \(15\) шестиугольников.

Подставляем это в уравнение:

\[ 0 + 1 + 1 + 15 = 17 \]

И у нас остается до 18:

Так что все это вытекает, что максимальное возможное количество многоугольников с четным количеством сторон (четырёхугольников и шестиугольников) может быть:

\[ Q + S = 1 + 15 = 16 \text{ шестиугольников} \]

Итак, наибольшее возможное количество многоугольников с четным числом сторон в данной ситуации:

\[ \text{Ответ: } 16 \]

Мы можем иметь 1 четырёхугольник и 15 шестиугольников, в итоге получая 16 фигур с четными сторонами.