Для решения задачи давайте сначала обозначим количество каждого типа многоугольников. Обозначим:
- ( T ) — количество треугольников,
- ( Q ) — количество четырёхугольников,
- ( P ) — количество пятиугольников,
- ( S ) — количество шестиугольников.
По условию задачи мы знаем, что:
[
T + Q + P + S = 160
]
Также нам дано, что если стереть 142 фигуры, то обязательно будет стёрт хотя бы один многоугольник каждого вида. Это означает, что в оставшихся 18 фигурах должно быть хотя бы один треугольник, один четырёхугольник, один пятиугольник и один шестиугольник.
Таким образом, из 18 оставшихся фигур мы можем сделать следующие выводы:
- Необходимо оставить как минимум 1 треугольник: ( T \geq 1 )
- Необходимо оставить как минимум 1 четырёхугольник: ( Q \geq 1 )
- Необходимо оставить как минимум 1 пятиугольник: ( P \geq 1 )
- Необходимо оставить как минимум 1 шестиугольник: ( S \geq 1 )
Таким образом, оставшиеся фигуры могут быть записаны как:
[
T + Q + P + S = 18
]
Но так как мы точно знаем, что в каждом виде должно оставаться хотя бы по одной фигуре, это означает:
[
(T - 1) + (Q - 1) + (P - 1) + (S - 1) = 14
]
Таким образом у нас есть новое уравнение:
[
T + Q + P + S = 160
]
[
T + Q + P + S - 4 = 14
]
Переписываем первое уравнение:
[
T + Q + P + S = 160
]
Теперь подставим:
[
T + Q + P + S - 4 = 14 \implies T + Q + P + S = 18 + 4 = 22
]
Это соотношение говорит нам о том, что в оставшихся 18 фигурах может быть максимум 18 - 4 = 14 фигур. Это максимизирует общее количество многоугольников с чётным числом сторон (4 и 6):
Теперь попробуем оценить, какое максимальное значение может принимать количество фигур с четным количеством сторон.
Если мы оставим как минимум по одной фигуре каждого вида (один треугольник, один четырёхугольник, один пятиугольник и один шестиугольник), то мы можем оставить:
- (0) треугольников,
- (1) четырёхугольник,
- (1) пятиугольник,
- (15) шестиугольников.
Подставляем это в уравнение:
[
0 + 1 + 1 + 15 = 17
]
И у нас остается до 18:
Так что все это вытекает, что максимальное возможное количество многоугольников с четным количеством сторон (четырёхугольников и шестиугольников) может быть:
[
Q + S = 1 + 15 = 16 \text{ шестиугольников}
]
Итак, наибольшее возможное количество многоугольников с четным числом сторон в данной ситуации:
[
\text{Ответ: } 16
]
Мы можем иметь 1 четырёхугольник и 15 шестиугольников, в итоге получая 16 фигур с четными сторонами.
