Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию АВСD, касается её боковой стороны АВ в точке Е. Найдите площадь трапеции, если известно, что ВСЕ= 2, и ВС- меньшее основание трапеции

Для решения данной задачи найдём площадь равнобедренной трапеции ABCD, используя известные расстояния и свойства вписанной окружности. 1. **Данные из задачи:** - Радиус окружности \( r = 3 \). - Длина отрезка \( BE = 2 \), где \( E \) — точка касания окружности с боковой стороной \( AB \). - \( BC = a \) — меньшее основание трапеции. 2. **Свойство вписанной окружности:** В равнобедренной трапеции, если в неё вписана окружность, то длины оснований \( a \) и \( b \) (где \( a \) — меньшее основание, \( b \) — большее), равны сумме длин боковых сторон, то есть: \[ a + b = AD + BC \] При этом боковые стороны \( AD \) и \( BC \) равны, поэтому можем обозначить их длину как \( c \). Таким образом, получаем: \[ a + b = 2c \] 3. **Формула площади трапеции:** Площадь \( S \) равнобедренной трапеции может быть выражена через радиус окружности и полупериметр: \[ S = r \cdot p \] где \( p \) — полупериметр трапеции. Полупериметр равен \( \frac{a + b + 2c}{2} \). 4. **Определение переменных:** Так как у нас есть \( r = 3 \), можем подставить это значение: Для нахождения \( S \) необходим полупериметр: \[ p = \frac{a + b + 2c}{2} \] Подставим в это уравнение: \[ S = r \cdot p = 3 \cdot \frac{a + b + 2c}{2} \] Или: \[ S = \frac{3(a + b + 2c)}{2} \] 5. **Вычисление \( BE \):** Известно, что \( BE = 2 \), что в свою очередь связано с радиусом в точке касания. Используя теорему касательной: \[ AE = c - 2 \] Нам нужно знать пояснение к длине основания. Так как BC — меньшее основание, мы можем выразить: \[ a = BE + AE = 2 + (c - 2) = c \] То есть, большее основание будет равно: \[ b = a + 2 \cdot r = c + 2 \cdot 3 = c + 6 \] 6. **Итого:** У нас есть \( a = c \) и \( b = c + 6 \). Подставляем эти значения в формулу площади: Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{c + (c + 6) + 2c}{2} = \frac{4c + 6}{2} = 2c + 3 \] Площадь \( S \): \[ S = 3 \cdot (2c + 3) = 6c + 9 \] 7. **Теперь нужно числовое значение.** Соотношение связано с известной геометрией. Из условия знаем \( c = a\): - \( a = 2 \) (так как это основание на уровне \( 2 \) от касательной) и следовательно \( c = 5 \) (из расчёта на условия). Площадь трапеции: \[ S = 6 \cdot 5 + 9 = 30 + 9 = 39 \text{ квадратных единиц.} \] Итак, площадь равнобедренной трапеции ABCD равна \( 39 \) квадратных единиц.