составить максимально краткий конспект по ниже приведённому тексту + очень кратко 110 Окружность, описанная около правильного многоугольника Напомним, что окружность называется…
Составить максимально краткий конспект по ниже приведённому тексту + очень кратко 110 Окружность, описанная около правильного многоугольника Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. Рис. 306 Теорема Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Доказательство Пусть А1А3А3…А, - правильный многоугольник, О - точка пересечения биссектрис углов А1 и А2 (рис. 307). Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что OA1= OA2=… =OA,. Так как ZA1= LA2, то /1 = Z3, поэтому треугольник А равнобедренный: в нём ОA1=OA2. Треугольники A A2O и А2А3О равны по двум сторонам и углу между ними (A А2= A3A2, A20 - общая сторона и /3= /4), следовательно, ОA3=OA1. Точно так же можно доказать, что ОA =OA2, ОA3=OA3 и т. д. Рис. 307 Итак, ОА1 = ОA2=… =OA,, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА, является описанной около многоуголь- ника. Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А1, А2, А3. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника А А2А3…Аn можно описать только одну окружность. Теорема доказана.
Конспект по теме: Окружность, описанная около правильного многоугольника
Определение окружности:
- Окружность описанная вокруг многоугольника — это окружность, на которой расположены все вершины этого многоугольника.
Существование описанной окружности:
- Для любого правильного многоугольника можно провести только одну описанную окружность.
Доказательство:
- Рассмотрим правильный многоугольник A₁A₂…Aₙ с точкой O, пересечением биссектрис углов A₁ и A₂.
- Соединим O с вершинами: OA₁, OA₂, …, OAₙ.
- Доказательство равенства:
- Углы A₁ и A₂ равны, поэтому треугольник A₁OA₂ — равнобедренный (OA₁ = OA₂).
- Треугольники A₁A₂O и A₂A₃O равны, что приводит к равенству OA₃ = OA₁ и т.д.
- Таким образом, все отрезки OAᵢ равны, значит, точка O равноудалена от всех вершин.
Уникальность описанной окружности:
- Выбирая три вершины A₁, A₂ и A₃, можем провести только одну окружность, проходящую через них, что подтверждает единственность описанной окружности вокруг правильного многоугольника.
Очень кратко:
- Окружность, описанная около правильного многоугольника, существует и уникальна.
- Доказательство основано на равенстве расстояний от центра окружности до вершин многоугольника и уникальности окружности, проходящей через три точки.
