Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим количество игрушечных машинок у Алика как ( x ).
Дано:
Если Алик строит машинки в ряды по 10, он получает 6 лишних. Это можно выразить уравнением:
[
x \equiv 6 \ (\text{mod} \ 10)
]
Это означает, что если мы разделим ( x ) на 10, остаток будет 6. То есть ( x ) можно представить в виде:
[
x = 10k + 6
]
где ( k ) — это целое число.
Если Алик строит машинки в ряды по 7, лишних машинок не остается:
[
x \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7)
]
Это означает, что ( x ) делится на 7 без остатка.
Указанные условия говорят, что ( x ) должно быть больше 40 и меньше 70:
[
40 < x < 70
]
Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значения ( k ).
Подставляем ( x = 10k + 6 ) в условие ( x \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ):
[
10k + 6 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7)
]
Теперь вычислим ( 10 \ \text{mod} \ 7 ):
[
10 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7)
]
То есть,
[
3k + 6 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7)
]
Упростим уравнение:
[
3k \equiv -6 \ (\text{mod} \ 7)
]
[
3k \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7)
]
Решим это уравнение. Для этого найдем обратное к 3 по модулю 7. Это число, которое, умноженное на 3, дает 1 в модуле 7. Перебираем возможные значения:
- ( 3 \times 1 = 3 )
- ( 3 \times 2 = 6 )
- ( 3 \times 3 = 9 \equiv 2 )
- ( 3 \times 4 = 12 \equiv 5 )
- ( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 )
Обратное к 3 по модулю 7 — это 5. Умножим обе части уравнения на 5:
[
k \equiv 5 \cdot 1 \ (\text{mod} \ 7)
]
[
k \equiv 5 \ (\text{mod} \ 7)
]
Это дает:
[
k = 7m + 5
]
где ( m ) — целое число.
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
[
x = 10(7m + 5) + 6 = 70m + 50 + 6 = 70m + 56
]
Необходимо, чтобы ( x ) находилось в диапазоне от 40 до 70:
[
40 < 70m + 56 < 70
]
Разделим на 70, чтобы найти возможные значения ( m ):
Для нижней границы:
[
70m + 56 > 40 \implies 70m > -16 \implies m \geq 0
]
Для верхней границы:
[
70m + 56 < 70 \implies 70m < 14 \implies m < \frac{14}{70} \implies m < 0.2
]
Таким образом, единственным целым значением для ( m ) может быть 0:
[
m = 0 \implies x = 70 \cdot 0 + 56 = 56
]
Итак, общее количество машинок у Алика:
[
\boxed{56}
]
Это значение удовлетворяет всем условиям задачи: ( 56 > 40 ), ( 56 < 70 ), ( 56 \equiv 6 \ (\text{mod} \ 10) ), и ( 56 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ).
