У Алика есть игрушечные машинки. Сначала он построил их в ряды по 10 машинок, и у него осталось 6 лишних. Тогда Алик построил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Сколько…
У Алика есть игрушечные машинки. Сначала он построил их в ряды по 10 машинок, и у него осталось 6 лишних. Тогда Алик построил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Сколько машинок у Алика, если их больше 40, но меньше 70?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим количество игрушечных машинок у Алика как \( x \).
Дано:
Если Алик строит машинки в ряды по 10, он получает 6 лишних. Это можно выразить уравнением: \[ x \equiv 6 \ (\text{mod} \ 10) \] Это означает, что если мы разделим \( x \) на 10, остаток будет 6. То есть \( x \) можно представить в виде: \[ x = 10k + 6 \] где \( k \) — это целое число.
Если Алик строит машинки в ряды по 7, лишних машинок не остается: \[ x \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \] Это означает, что \( x \) делится на 7 без остатка.
Указанные условия говорят, что \( x \) должно быть больше 40 и меньше 70: \[ 40 < x < 70 \]
Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значения \( k \).
Подставляем \( x = 10k + 6 \) в условие \( x \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \): \[ 10k + 6 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \] Теперь вычислим \( 10 \ \text{mod} \ 7 \): \[ 10 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7) \] То есть, \[ 3k + 6 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \] Упростим уравнение: \[ 3k \equiv -6 \ (\text{mod} \ 7) \] \[ 3k \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \]
Решим это уравнение. Для этого найдем обратное к 3 по модулю 7. Это число, которое, умноженное на 3, дает 1 в модуле 7. Перебираем возможные значения:
- \( 3 \times 1 = 3 \)
- \( 3 \times 2 = 6 \)
- \( 3 \times 3 = 9 \equiv 2 \)
- \( 3 \times 4 = 12 \equiv 5 \)
- \( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \)
Обратное к 3 по модулю 7 — это 5. Умножим обе части уравнения на 5: \[ k \equiv 5 \cdot 1 \ (\text{mod} \ 7) \] \[ k \equiv 5 \ (\text{mod} \ 7) \] Это дает: \[ k = 7m + 5 \] где \( m \) — целое число.
Теперь подставим это значение в первое уравнение: \[ x = 10(7m + 5) + 6 = 70m + 50 + 6 = 70m + 56 \]
Необходимо, чтобы \( x \) находилось в диапазоне от 40 до 70: \[ 40 < 70m + 56 < 70 \] Разделим на 70, чтобы найти возможные значения \( m \): Для нижней границы: \[ 70m + 56 > 40 \implies 70m > -16 \implies m \geq 0 \] Для верхней границы: \[ 70m + 56 < 70 \implies 70m < 14 \implies m < \frac{14}{70} \implies m < 0.2 \]
Таким образом, единственным целым значением для \( m \) может быть 0: \[ m = 0 \implies x = 70 \cdot 0 + 56 = 56 \]
Итак, общее количество машинок у Алика: \[ \boxed{56} \] Это значение удовлетворяет всем условиям задачи: \( 56 > 40 \), \( 56 < 70 \), \( 56 \equiv 6 \ (\text{mod} \ 10) \), и \( 56 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \).
