в треугольнике abc угол с равен 90 градусов, ch высота, bc равен 1, синус/ равно 2/ 5. найти aһ
Чтобы решить задачу, давайте разберем её шаг за шагом.
Условия задачи:
- Треугольник ABC, угол C равен 90 градусов (т.е. это прямоугольный треугольник).
- BC = 1 (это одна из катетов).
- Синус угла A (sin(A)) = 2/5.
Цель:
Найти длину высоты CH из узла C на сторону AB.
Шаги решения:
Понимание синуса: Синус угла A (sin(A)) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. То есть: \[ \sin(A) = \frac{BC}{AB} \] Где BC — противолежащий катет (длина 1), AB — гипотенуза.
Подставим известные значения: \[ \frac{1}{AB} = \frac{2}{5} \] Отсюда: \[ AB = \frac{1 \cdot 5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
Находим катет AC: Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину катета AC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ \left(\frac{5}{2}\right)^2 = AC^2 + 1^2 \] \[ \frac{25}{4} = AC^2 + 1 \] Перепишите уравнение, преобразовав 1 в дробь: \[ AC^2 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{25}{4} - \frac{4}{4} = \frac{21}{4} \] Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти AC: \[ AC = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2} \]
Находим высоту CH: Поскольку CH — это высота, можно также использовать формулу для площади треугольника. Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
- Через основание BC и высоту CH: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times CH = \frac{1}{2} \times 1 \times CH = \frac{1}{2} CH \]
- Через основание AB и катет AC: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{5\sqrt{21}}{8} \]
Приравняем оба выражения для площади S: \[ \frac{1}{2} CH = \frac{5\sqrt{21}}{8} \] Умножим обе стороны на 2: \[ CH = \frac{5\sqrt{21}}{4} \]
Ответ:
Высота CH треугольника ABC равна \(\frac{5\sqrt{21}}{4}\).
