Если ( \tan a = -1 ), это означает, что угол ( a ) находится в квадрантах, где тангенс отрицателен. Это происходит в I (1) и III (3) квадрантах.
Зная, что ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ), можем записать:
[
\frac{\sin a}{\cos a} = -1
]
Это означает, что:
[
\sin a = -\cos a
]
На основании основного тригонометрического тождества ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ), подставим ( \sin a = -\cos a ):
[
(-\cos a)^2 + \cos^2 a = 1
]
[
\cos^2 a + \cos^2 a = 1
]
[
2\cos^2 a = 1
]
[
\cos^2 a = \frac{1}{2}
]
[
\cos a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Далее, подставим значение ( \cos a ) в ( \sin a = -\cos a ):
- Если ( \cos a = \frac{\sqrt{2}}{2} ), тогда ( \sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2} ).
- Если ( \cos a = -\frac{\sqrt{2}}{2} ), тогда ( \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} ).
Так как ( \tan a = -1 ) может иметь место в III квадранте (где ( \sin a < 0 ) и ( \cos a < 0 )), то правильное решение:
[
\sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Таким образом, результат:
[
\sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
