втулка, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её диаметра от номинала не превышает 1 мм. точность работы станка характеризуется стандартным отклонением 0,05…

Для решения задачи используем понятия теории вероятностей и стандартизированного нормального распределения (распределение Гаусса). Мы будем считать, что размеры втулок распределены нормально с заданным средним (номиналом) и стандартным отклонением.

Дано:

• Номинальный диаметр втулки (обозначим его \( \mu \)) — это значение, от которого мы будем отталкиваться (например, 10 мм, но это значение не столь важно, так как в дальнейшем мы работаем с отклонениями).
• Допустимое отклонение от номинала: ±1 мм.
• Стандартное отклонение (\( \sigma \)) = 0,05 мм.

Часть (а): Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Шаг 1: Определим границы годности деталей

Годная деталь — это такая, которая имеет диаметр в пределах от \( \mu - 1 \) до \( \mu + 1 \), т.е.:

• Нижняя граница: \( \mu - 1 \)
• Верхняя граница: \( \mu + 1 \)

Шаг 2: Стандартизация

Для нахождения вероятности мы стандартизируем эти границы, используя стандартную нормальную переменную \( Z \): \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Границы годных деталей у нас следующие:

• \( Z_{lower} = \frac{(\mu - 1) - \mu}{0,05} = \frac{-1}{0,05} = -20 \)
• \( Z_{upper} = \frac{(\mu + 1) - \mu}{0,05} = \frac{1}{0,05} = 20 \)

Шаг 3: Нахождение вероятности

Нам нужно найти вероятность \( P(-20 < Z < 20) \). Так как значение \( Z = -20 \) и \( Z = 20 \) находятся очень далеко за пределами стандартной нормальной таблицы (значения \( Z \) редко превышают 3 или 4), мы можем сосчитать, что почти все значения лежат между этими границами. То есть:

\[ P(-20 < Z < 20) \approx 1 \text{ (или 100\%)} \]

Таким образом, автомат изготавливает почти 100% годных деталей.

Часть (б): Какое должно быть стандартное отклонение, чтобы доля годных деталей повысилась до 98%?

Шаг 1: Найдем значения \( Z \)

Для 98% годных деталей найдем границы с помощью стандартного нормального распределения. Вероятность 98% в центре нормального распределения означает, что по 1% остается в каждой хвостовой области. Находим значения \( Z \) для 0,99 (потому что \( 1 - 0,98 = 0,02 \)):

• По таблице нормального распределения \( Z(0,99) \approx 2,33 \).

Шаг 2: Условие для стандартного отклонения

Теперь мы устанавливаем границы:

• Нижняя граница: \( \mu - 1 = \mu - Z \cdot \sigma' \)
• Верхняя граница: \( \mu + 1 = \mu + Z \cdot \sigma' \)

Сравниваем:

\[ 1 = Z \cdot \sigma' \]

Подставляем \( Z = 2,33 \): \[ \sigma' = \frac{1}{2,33} \approx 0,429 \, \text{мм} \]

Ответы:

а) Автомат изготавливает почти 100% годных деталей.
б) Чтобы доля годных деталей повысилась до 98%, стандартное отклонение должно составлять примерно 0,429 мм.