Для решения задачи используем понятия теории вероятностей и стандартизированного нормального распределения (распределение Гаусса). Мы будем считать, что размеры втулок распределены нормально с заданным средним (номиналом) и стандартным отклонением.
Дано:
- Номинальный диаметр втулки (обозначим его ( \mu )) — это значение, от которого мы будем отталкиваться (например, 10 мм, но это значение не столь важно, так как в дальнейшем мы работаем с отклонениями).
- Допустимое отклонение от номинала: ±1 мм.
- Стандартное отклонение (( \sigma )) = 0,05 мм.
Часть (а): Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
Шаг 1: Определим границы годности деталей
Годная деталь — это такая, которая имеет диаметр в пределах от ( \mu - 1 ) до ( \mu + 1 ), т.е.:
- Нижняя граница: ( \mu - 1 )
- Верхняя граница: ( \mu + 1 )
Шаг 2: Стандартизация
Для нахождения вероятности мы стандартизируем эти границы, используя стандартную нормальную переменную ( Z ):
[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} ]
Границы годных деталей у нас следующие:
- ( Z_{lower} = \frac{(\mu - 1) - \mu}{0,05} = \frac{-1}{0,05} = -20 )
- ( Z_{upper} = \frac{(\mu + 1) - \mu}{0,05} = \frac{1}{0,05} = 20 )
Шаг 3: Нахождение вероятности
Нам нужно найти вероятность ( P(-20 < Z < 20) ).
Так как значение ( Z = -20 ) и ( Z = 20 ) находятся очень далеко за пределами стандартной нормальной таблицы (значения ( Z ) редко превышают 3 или 4), мы можем сосчитать, что почти все значения лежат между этими границами. То есть:
[ P(-20 < Z < 20) \approx 1 \text{ (или 100%)} ]
Таким образом, автомат изготавливает почти 100% годных деталей.
Часть (б): Какое должно быть стандартное отклонение, чтобы доля годных деталей повысилась до 98%?
Шаг 1: Найдем значения ( Z )
Для 98% годных деталей найдем границы с помощью стандартного нормального распределения. Вероятность 98% в центре нормального распределения означает, что по 1% остается в каждой хвостовой области. Находим значения ( Z ) для 0,99 (потому что ( 1 - 0,98 = 0,02 )):
- По таблице нормального распределения ( Z(0,99) \approx 2,33 ).
Шаг 2: Условие для стандартного отклонения
Теперь мы устанавливаем границы:
- Нижняя граница: ( \mu - 1 = \mu - Z \cdot \sigma' )
- Верхняя граница: ( \mu + 1 = \mu + Z \cdot \sigma' )
Сравниваем:
[
1 = Z \cdot \sigma'
]
Подставляем ( Z = 2,33 ):
[
\sigma' = \frac{1}{2,33} \approx 0,429 , \text{мм}
]
Ответы:
а) Автомат изготавливает почти 100% годных деталей.
б) Чтобы доля годных деталей повысилась до 98%, стандартное отклонение должно составлять примерно 0,429 мм.
