5. Найдите асимптоты графика функции f(x) = (5x)/(3x + 2) 6. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке М(3;-2)

### Задача 5: Найдите асимптоты графика функции \( f(x) = \frac{5x}{3x + 2} \) **Шаг 1: Поиск вертикальных асимптот.** Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции равен нулю. Итак, решим уравнение: \[ 3x + 2 = 0 \] \[ 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \] Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота в точке \( x = -\frac{2}{3} \). **Шаг 2: Поиск горизонтальных асимптот.** Горизонтальные асимптоты можно найти, исследуя поведение функции при \( x \) стремящемся к бесконечности. Для функций вида \( \frac{a}{b} \) где \( a \) и \( b \) — многочлены, горизонтальная асимптота определяется по ведущим коэффициентам: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{3x + 2} \] Мы можем разделить числитель и знаменатель на \( x \): \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{3 + \frac{2}{x}} = \frac{5}{3 + 0} = \frac{5}{3} \] Таким образом, горизонтальная асимптота: \( y = \frac{5}{3} \). ### Ответ на задачу 5: - Вертикальная асимптота: \( x = -\frac{2}{3} \) - Горизонтальная асимптота: \( y = \frac{5}{3} \) --- ### Задача 6: Составьте уравнение касательной к графику функции в точке \( M(3, -2) \) **Шаг 1: Найдем производную функции.** Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно определить производную функции \( f(x) \). Функция: \[ f(x) = \frac{5x}{3x + 2} \] Используем правило деления: \[ f'(x) = \frac{(3x + 2)(5) - (5x)(3)}{(3x + 2)^2} \] Упрощаем числитель: \[ = \frac{15x + 10 - 15x}{(3x + 2)^2} = \frac{10}{(3x + 2)^2} \] **Шаг 2: Найдем производную в точке \( x = 3 \).** Теперь вычислим производную в точке \( x = 3 \): \[ f'(3) = \frac{10}{(3(3) + 2)^2} = \frac{10}{(9 + 2)^2} = \frac{10}{11^2} = \frac{10}{121} \] **Шаг 3: Используем уравнение касательной.** Уравнение касательной имеет вид: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] В нашем случае \( a = 3 \) и \( f(3) = -2 \): \[ y - (-2) = \frac{10}{121}(x - 3) \] \[ y + 2 = \frac{10}{121}(x - 3) \] **Шаг 4: Перепишем уравнение в конечной форме.** Умножим обе стороны на \( 121 \) для удобства: \[ 121(y + 2) = 10(x - 3) \] \[ 121y + 242 = 10x - 30 \] \[ 10x - 121y - 272 = 0 \] ### Ответ на задачу 6: Уравнение касательной к графику функции в точке \( M(3, -2) \): \[ 10x - 121y - 272 = 0 \]