5. Найдите асимптоты графика функции f(x) = (5x)/(3x + 2) 6. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке М(3;-2)

Задача 5: Найдите асимптоты графика функции \( f(x) = \frac{5x}{3x + 2} \)

Шаг 1: Поиск вертикальных асимптот.
Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции равен нулю.

Итак, решим уравнение:

\[ 3x + 2 = 0 \]

\[ 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \]

Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота в точке \( x = -\frac{2}{3} \).

Шаг 2: Поиск горизонтальных асимптот.
Горизонтальные асимптоты можно найти, исследуя поведение функции при \( x \) стремящемся к бесконечности. Для функций вида \( \frac{a}{b} \) где \( a \) и \( b \) — многочлены, горизонтальная асимптота определяется по ведущим коэффициентам:

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{3x + 2} \]

Мы можем разделить числитель и знаменатель на \( x \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{3 + \frac{2}{x}} = \frac{5}{3 + 0} = \frac{5}{3} \]

Таким образом, горизонтальная асимптота: \( y = \frac{5}{3} \).

Ответ на задачу 5:

• Вертикальная асимптота: \( x = -\frac{2}{3} \)
• Горизонтальная асимптота: \( y = \frac{5}{3} \)

Задача 6: Составьте уравнение касательной к графику функции в точке \( M(3, -2) \)

Шаг 1: Найдем производную функции.
Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно определить производную функции \( f(x) \). Функция:

\[ f(x) = \frac{5x}{3x + 2} \]

Используем правило деления:

\[ f'(x) = \frac{(3x + 2)(5) - (5x)(3)}{(3x + 2)^2} \]

Упрощаем числитель:

\[ = \frac{15x + 10 - 15x}{(3x + 2)^2} = \frac{10}{(3x + 2)^2} \]

Шаг 2: Найдем производную в точке \( x = 3 \).
Теперь вычислим производную в точке \( x = 3 \):

\[ f'(3) = \frac{10}{(3(3) + 2)^2} = \frac{10}{(9 + 2)^2} = \frac{10}{11^2} = \frac{10}{121} \]

Шаг 3: Используем уравнение касательной.
Уравнение касательной имеет вид:

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

В нашем случае \( a = 3 \) и \( f(3) = -2 \):

\[ y - (-2) = \frac{10}{121}(x - 3) \]

\[ y + 2 = \frac{10}{121}(x - 3) \]

Шаг 4: Перепишем уравнение в конечной форме.

Умножим обе стороны на \( 121 \) для удобства:

\[ 121(y + 2) = 10(x - 3) \]

\[ 121y + 242 = 10x - 30 \]

\[ 10x - 121y - 272 = 0 \]

Ответ на задачу 6:

Уравнение касательной к графику функции в точке \( M(3, -2) \):
\[ 10x - 121y - 272 = 0 \]