99Стальной шар упал с высоты 26 м на свинцовую пластину массой 2 кг и остановился. При этом пластина нагрелась на 1,6 °С. Чему равна масса шара, если на нагревание пластины пошло 80 % выделившейся при ударе энергии?
Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать закон сохранения энергии. Шар, упавший с высоты, теряет потенциальную энергию и преобразует ее в кинетическую энергию. При ударе о свинцовую пластину часть этой энергии нагревает пластину и часть энергии теряется.
1. **Данные**:
- Высота \( h = 26 \) м
- Масса свинцовой пластины \( m_{п} = 2 \) кг
- Температурное изменение пластины \( \Delta T = 1,6 \) °C
- Доля энергии, нагревающая пластину: 80%
2. **Расчет потенциальной энергии**:
Потенциальная энергия, которую имеет шар на высоте \( h \), вычисляется по формуле:
\[
E_{пот} = m_{ш} \cdot g \cdot h
\]
где:
- \( m_{ш} \) — масса стального шара,
- \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9,81 \) м/с²),
- \( h \) — высота.
3. **Энергия, переданная пластине**:
Из общей энергии, выделившейся при падении шара, на нагревание свинцовой пластины уходит 80%. Следовательно, энергия, переданная пластине, равна:
\[
E_{пл} = 0,8 \cdot E_{пот} = 0,8 \cdot m_{ш} \cdot g \cdot h
\]
4. **Расчет нагрева пластины**:
Для свинцовой пластины, чтобы найти количество теплоты, необходимое для нагрева, используется формула:
\[
Q = m_{п} \cdot c_{п} \cdot \Delta T
\]
где:
- \( c_{п} \) — удельная теплоемкость свинца (примерно \( 130 \) Дж/(кг·°C)),
- \( \Delta T = 1,6 \) °C.
Подставим данные:
\[
Q = 2 \cdot 130 \cdot 1,6 = 416 \text{ Дж}
\]
5. **Сравнение двух выражений**:
Теперь, поскольку мы знаем, что энергия, потраченная на нагревание, равна количеству теплоты:
\[
0,8 \cdot m_{ш} \cdot g \cdot h = 416
\]
Подставим значения (заменив \( g \) на \( 9,81 \, \text{м/с}^2 \), и \( h \) на \( 26 \, \text{м} \)):
\[
0,8 \cdot m_{ш} \cdot 9,81 \cdot 26 = 416
\]
6. **Решение уравнения**:
Упростим уравнение:
\[
0,8 \cdot m_{ш} \cdot 255.06 \approx 416
\]
\[
m_{ш} \approx \frac{416}{0,8 \cdot 255.06} = \frac{416}{204.048} \approx 2.04 \, \text{кг}
\]
Таким образом, масса стального шара составляет примерно **2,04 кг**.
