Задумали трёхзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Обозначение чисел

Обозначим искомое трёхзначное число как \( ABC \), где:

• \( A \) — первая цифра (десятки),
• \( B \) — вторая цифра (единицы),
• \( C \) — третья цифра (сотни).

Поскольку первая цифра четная, возможные значения для \( A \) — это 2, 4, 6, 8.

Трёхзначное число, записанное в обратном порядке, будет \( CBA \).

Шаг 2: Составление уравнения

Согласно условию задачи, когда мы вычитаем число \( CBA \) из числа \( ABC \), мы получаем 495: \[ ABC - CBA = 495. \]

Шаг 3: Запись чисел в виде цифр

Запишем \( ABC \) и \( CBA \) в числовом виде: \[ ABC = 100A + 10B + C, \] \[ CBA = 100C + 10B + A. \]

Подставляя их в уравнение, получаем: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 495. \]

Упрощаем уравнение: \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 495, \] \[ 99A - 99C = 495. \]

Шаг 4: Упрощение уравнения

Упрощаем уравнение: \[ 99(A - C) = 495, \] \[ A - C = 5. \]

Шаг 5: Поиск допустимых значений

Теперь мы знаем, что \( A - C = 5 \). Это значит, что \( A = C + 5 \).

Поскольку \( A \) четная, давайте рассмотрим допустимые значения для \( C \):

• Если \( C = 1 \), тогда \( A = 6 \).
• Если \( C = 2 \), тогда \( A = 7 \) (недопустимо, так как \( A \) должно быть четным).
• Если \( C = 3 \), тогда \( A = 8 \).
• Если \( C \) равно 0, то \( A = 5 \) (нечетное).

Таким образом, подходящие комбинации (A, C):

1. \( A = 6, C = 1 \)
2. \( A = 8, C = 3 \)

Шаг 6: Определение возможных значений B

Теперь, когда мы знаем возможные значения \( A \) и \( C \), нужно найти \( B \):

1. Для \( A = 6 \) и \( C = 1 \):
   • \( B \) может быть любым из \( 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \) (не может быть 1 или 6).
2. Для \( A = 8 \) и \( C = 3 \):
   • \( B \) может быть любым из \( 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 \) (не может быть 3 или 8).

Теперь генерируем числа:

• Для \( A = 6 \) и \( C = 1 \) с различными \( B \):

  • 601, 602, 603, 604, 605, 607, 608, 609 (всего 8 чисел).

• Для \( A = 8 \) и \( C = 3 \) с различными \( B \):

  • 803, 801, 802, 804, 805, 806, 807, 809 (всего 8 чисел).

Шаг 7: Найти наименьшее и наибольшее число

Список подходящих чисел:

• 601, 602, 603, 604, 605, 607, 608, 609
• 803, 801, 802, 804, 805, 806, 807, 809.

Наименьшее число = 601
Наибольшее число = 809

Шаг 8: Подсчет суммы

Теперь найдем сумму наименьшего и наибольшего: \[ 601 + 809 = 1410. \]

Ответ

Сумма наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих условиям, равна 1410.