Задумали трёхзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого
четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном
порядке. Получили число 495. Найдите сумму наименьшего и наибольшего чисел,
удовлетворяющих таким условиям.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
### Шаг 1: Обозначение чисел
Обозначим искомое трёхзначное число как \( ABC \), где:
- \( A \) — первая цифра (десятки),
- \( B \) — вторая цифра (единицы),
- \( C \) — третья цифра (сотни).
Поскольку первая цифра четная, возможные значения для \( A \) — это 2, 4, 6, 8.
Трёхзначное число, записанное в обратном порядке, будет \( CBA \).
### Шаг 2: Составление уравнения
Согласно условию задачи, когда мы вычитаем число \( CBA \) из числа \( ABC \), мы получаем 495:
\[
ABC - CBA = 495.
\]
### Шаг 3: Запись чисел в виде цифр
Запишем \( ABC \) и \( CBA \) в числовом виде:
\[
ABC = 100A + 10B + C,
\]
\[
CBA = 100C + 10B + A.
\]
Подставляя их в уравнение, получаем:
\[
(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 495.
\]
Упрощаем уравнение:
\[
100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 495,
\]
\[
99A - 99C = 495.
\]
### Шаг 4: Упрощение уравнения
Упрощаем уравнение:
\[
99(A - C) = 495,
\]
\[
A - C = 5.
\]
### Шаг 5: Поиск допустимых значений
Теперь мы знаем, что \( A - C = 5 \). Это значит, что \( A = C + 5 \).
Поскольку \( A \) четная, давайте рассмотрим допустимые значения для \( C \):
- Если \( C = 1 \), тогда \( A = 6 \).
- Если \( C = 2 \), тогда \( A = 7 \) (недопустимо, так как \( A \) должно быть четным).
- Если \( C = 3 \), тогда \( A = 8 \).
- Если \( C \) равно 0, то \( A = 5 \) (нечетное).
Таким образом, подходящие комбинации (A, C):
1. \( A = 6, C = 1 \)
2. \( A = 8, C = 3 \)
### Шаг 6: Определение возможных значений B
Теперь, когда мы знаем возможные значения \( A \) и \( C \), нужно найти \( B \):
1. Для \( A = 6 \) и \( C = 1 \):
- \( B \) может быть любым из \( 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \) (не может быть 1 или 6).
2. Для \( A = 8 \) и \( C = 3 \):
- \( B \) может быть любым из \( 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 \) (не может быть 3 или 8).
Теперь генерируем числа:
- Для \( A = 6 \) и \( C = 1 \) с различными \( B \):
- 601, 602, 603, 604, 605, 607, 608, 609 (всего 8 чисел).
- Для \( A = 8 \) и \( C = 3 \) с различными \( B \):
- 803, 801, 802, 804, 805, 806, 807, 809 (всего 8 чисел).
### Шаг 7: Найти наименьшее и наибольшее число
Список подходящих чисел:
- 601, 602, 603, 604, 605, 607, 608, 609
- 803, 801, 802, 804, 805, 806, 807, 809.
Наименьшее число = 601
Наибольшее число = 809
### Шаг 8: Подсчет суммы
Теперь найдем сумму наименьшего и наибольшего:
\[
601 + 809 = 1410.
\]
### Ответ
Сумма наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих условиям, равна **1410**.
