Для свободно падающего тела, расстояние, пройденное за каждую последующую секунду, образует геометрическую прогрессию, где первый член ( a ) равен расстоянию, пройденному за первую секунду, а знаменатель ( r ) равен отношению расстояния, пройденного за последующую секунду, к расстоянию, пройденному за предыдущую секунду.
Расстояние, пройденное за каждую секунду, можно выразить как ( a, ar, ar^2, ar^3, \ldots ), где ( r ) — знаменатель.
Для свободного падения ( a = g ) (ускорение свободного падения) и ( r = g ) (знаменатель также равен ускорению свободного падения).
Тогда, расстояние, пройденное за пятую секунду, можно найти по формуле для суммы геометрической прогрессии:
[ S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1} ]
где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии, в данном случае ( n = 5 ).
Подставляя значения ( a = g ) и ( r = g ) в формулу, получаем:
[ S_5 = g\frac{g^5 - 1}{g - 1} = g(g^4 + g^3 + g^2 + g + 1) ]
Таким образом, свободно падающее тело за пятую секунду пройдет расстояние, равное ( g(g^4 + g^3 + g^2 + g + 1) ).
