Какое расстояние пройдёт свободно падающее тело за пятую секунду после начала падения (через геометрическую прогрессию)

Для свободно падающего тела, расстояние, пройденное за каждую последующую секунду, образует геометрическую прогрессию, где первый член \( a \) равен расстоянию, пройденному за первую секунду, а знаменатель \( r \) равен отношению расстояния, пройденного за последующую секунду, к расстоянию, пройденному за предыдущую секунду.

Расстояние, пройденное за каждую секунду, можно выразить как \( a, ar, ar^2, ar^3, \ldots \), где \( r \) — знаменатель.

Для свободного падения \( a = g \) (ускорение свободного падения) и \( r = g \) (знаменатель также равен ускорению свободного падения).

Тогда, расстояние, пройденное за пятую секунду, можно найти по формуле для суммы геометрической прогрессии:

\[ S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1} \]

где \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии, в данном случае \( n = 5 \).

Подставляя значения \( a = g \) и \( r = g \) в формулу, получаем:

\[ S_5 = g\frac{g^5 - 1}{g - 1} = g(g^4 + g^3 + g^2 + g + 1) \]

Таким образом, свободно падающее тело за пятую секунду пройдет расстояние, равное \( g(g^4 + g^3 + g^2 + g + 1) \).