Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен  65 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и углов, образуемых касательными. 1. **Понять условия задачи**: У нас есть окружность и точка, из которой проведены две касательные к окружности. Угол между этими касательными равен \(65^\circ\). Наша задача — найти градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания касательных и окружности. 2. **Использовать свойства касательных**: Обозначим окружность \(O\). Пусть точки касания касательных с окружностью будут \(A\) и \(B\). Назовём угол между касательными \(∠APB = 65^\circ\), где \(P\) — это точка, из которой проведены касательные к окружности. 3. **Свойства углов**: Угол \(∠APB\) равен половине разности дуг, заключённых между касательными. Это означает, что \[ ∠APB = \frac{1}{2} (m_{AB} - m_{A'B'}) \] где \(m_{AB}\) — степень дуги AB, а \(m_{A'B'}\) — степень дуги \(A'B'\), противоположной дуге AB. 4. **Сумма дуг**: Поскольку в окружности сумма всех дуг равна \(360^\circ\), можно записать: \[ m_{AB} + m_{A'B'} = 360^\circ \] 5. **Подстановка в уравнение**: Поскольку мы знаем, что \(∠APB = 65^\circ\), подставим в формулу: \[ 65^\circ = \frac{1}{2} (m_{AB} - m_{A'B'}) \] Умножим обе стороны на 2: \[ 130^\circ = m_{AB} - m_{A'B'} \] 6. **Решение системы уравнений**: Теперь у нас есть две формулы: 1. \(m_{AB} + m_{A'B'} = 360^\circ\) 2. \(m_{AB} - m_{A'B'} = 130^\circ\) Сложим оба уравнения: \[ (m_{AB} + m_{A'B'}) + (m_{AB} - m_{A'B'}) = 360^\circ + 130^\circ \] \[ 2m_{AB} = 490^\circ \] \[ m_{AB} = 245^\circ \] Теперь подставим \(m_{AB}\) в одно из уравнений, чтобы найти \(m_{A'B'}\): \[ 245^\circ + m_{A'B'} = 360^\circ \] \[ m_{A'B'} = 360^\circ - 245^\circ = 115^\circ \] 7. **Заключение**: Теперь мы знаем, что мёрка меньшей из дуг между точками касания (то есть \(m_{AB}\)) составляет \(115^\circ\), а большей — \(245^\circ\). Следовательно, меньшая из дуг, заключённая между точками касания, равна: \[ \boxed{115^\circ} \]