Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 65 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания
Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и углов, образуемых касательными.
Понять условия задачи: У нас есть окружность и точка, из которой проведены две касательные к окружности. Угол между этими касательными равен \(65^\circ\). Наша задача — найти градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания касательных и окружности.
Использовать свойства касательных:
Обозначим окружность \(O\). Пусть точки касания касательных с окружностью будут \(A\) и \(B\). Назовём угол между касательными \(∠APB = 65^\circ\), где \(P\) — это точка, из которой проведены касательные к окружности.Свойства углов:
Угол \(∠APB\) равен половине разности дуг, заключённых между касательными. Это означает, что\[ ∠APB = \frac{1}{2} (m_{AB} - m_{A'B'}) \]
где \(m_{AB}\) — степень дуги AB, а \(m_{A'B'}\) — степень дуги \(A'B'\), противоположной дуге AB.
Сумма дуг:
Поскольку в окружности сумма всех дуг равна \(360^\circ\), можно записать:\[ m_{AB} + m_{A'B'} = 360^\circ \]
Подстановка в уравнение:
Поскольку мы знаем, что \(∠APB = 65^\circ\), подставим в формулу:\[ 65^\circ = \frac{1}{2} (m_{AB} - m_{A'B'}) \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ 130^\circ = m_{AB} - m_{A'B'} \]
Решение системы уравнений:
Теперь у нас есть две формулы:- \(m_{AB} + m_{A'B'} = 360^\circ\)
- \(m_{AB} - m_{A'B'} = 130^\circ\)
Сложим оба уравнения:
\[ (m_{AB} + m_{A'B'}) + (m_{AB} - m_{A'B'}) = 360^\circ + 130^\circ \] \[ 2m_{AB} = 490^\circ \] \[ m_{AB} = 245^\circ \]
Теперь подставим \(m_{AB}\) в одно из уравнений, чтобы найти \(m_{A'B'}\):
\[ 245^\circ + m_{A'B'} = 360^\circ \] \[ m_{A'B'} = 360^\circ - 245^\circ = 115^\circ \]
Заключение:
Теперь мы знаем, что мёрка меньшей из дуг между точками касания (то есть \(m_{AB}\)) составляет \(115^\circ\), а большей — \(245^\circ\). Следовательно, меньшая из дуг, заключённая между точками касания, равна:\[ \boxed{115^\circ} \]
