Для решения задачи будем использовать систему уравнений и воспользоваться данными условиями.
Давайте введем обозначение для количества машинок у Алика: пусть ( x ) — это общее количество машинок.
Первое условие:
Он построил машинки в ряды по 10 и у него осталось 6 лишних. Это можно записать как:
[
x \equiv 6 \pmod{10}
]
Это значит, что при делении ( x ) на 10, остаток будет равен 6. То есть, числа, соответствующие этому условию, выглядят так:
[
x = 10k + 6
]
для некоторого целого ( k ).
Второе условие:
Он построил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Это можно записать как:
[
x \equiv 0 \pmod{7}
]
Это значит, что ( x ) делится на 7 без остатка.
Теперь нам нужно найдти такие ( x ), которые удовлетворяют обоим условиям и находятся в диапазоне от 40 до 70.
Решение
Для начала, подставим ( x = 10k + 6 ) во второе условие:
[
10k + 6 \equiv 0 \pmod{7}
]
или
[
10k + 6 = 7m
]
для некоторого целого m.
Мы можем упростить это выражение, используя ( 10 \equiv 3 \mod{7} ):
[
3k + 6 \equiv 0 \pmod{7}
]
Преобразуем это уравнение:
[
3k \equiv -6 \equiv 1 \pmod{7}
]
Теперь найдём обратный элемент для 3 по модулю 7. Убедимся, что 3 и 7 взаимно просты, и найдём число, которое при умножении на 3 дает 1 по модулю 7. Проверим значения:
- ( 3 \times 1 = 3 )
- ( 3 \times 2 = 6 )
- ( 3 \times 3 = 9 \equiv 2 )
- ( 3 \times 4 = 12 \equiv 5 )
- ( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 )
Итак, обратный элемент – это 5. Умножим обе части уравнения на 5:
[
k \equiv 5 \mod{7}
]
То есть, ( k = 7n + 5 ) для некоторого целого ( n ).
Теперь подставим это обратно в выражение для ( x ):
[
x = 10k + 6 = 10(7n + 5) + 6 = 70n + 50 + 6 = 70n + 56
]
Таким образом, ( x = 70n + 56 ).
Теперь мы должны найти ( x ) в диапазоне от 40 до 70.
- Если ( n = 0 ), получим ( x = 56 ).
- Если ( n = 1 ), получим ( x = 126 ), что выходит за пределы.
Следовательно, ( n = 0 ) подходит, и мы получаем:
[
x = 56
]
Ответ
Количество машинок у Алика — 56.
