log3(3x+1)<2
Чтобы решить неравенство \( \log_3(3x + 1) < 2 \), следуем пошаговым объяснениям:
Шаг 1: Понимание логарифма
Логарифм \( \log_b(a) \) обозначает, что \( b \) возводится в степень, равную \( \log_b(a) \), чтобы получить \( a \). В нашем случае \( b = 3 \) и \( a = 3x + 1 \). Это значит:
\[ \log_3(3x + 1) < 2 \quad \text{эквивалентно} \quad 3^2 > 3x + 1 \]
Шаг 2: Преобразование неравенства
Мы можем записать неравенство в более привычной форме:
\[ 9 > 3x + 1 \]
Шаг 3: Переносим и упрощаем
Теперь избавимся от 1, вычитая 1 с обеих сторон:
\[ 9 - 1 > 3x \]
Это упрощается до:
\[ 8 > 3x \]
Шаг 4: Делим на 3
Чтобы изолировать \( x \), делим обе стороны на 3:
\[ \frac{8}{3} > x \]
Можно записать это как:
\[ x < \frac{8}{3} \]
Шаг 5: Проверка условия
Также стоит проверить, при каких \( x \) определен логарифм:
Логарифм определен, когда его аргумент больше нуля:
\[ 3x + 1 > 0 \]
Решим это неравенство:
\[ 3x > -1 \quad \text{или} \quad x > -\frac{1}{3} \]
Шаг 6: Объединяем условия
Теперь у нас есть два условия:
- \( x < \frac{8}{3} \)
- \( x > -\frac{1}{3} \)
Вместе это дает:
\[ -\frac{1}{3} < x < \frac{8}{3} \]
Ответ
Решением неравенства \( \log_3(3x + 1) < 2 \) является интервал:
\[ x \in \left(-\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right) \]
Таким образом, значение \( x \) должно находиться в пределах от \(-\frac{1}{3}\) до \(\frac{8}{3}\).
