Log3(3x+1)<2

Чтобы решить неравенство \( \log_3(3x + 1) < 2 \), следуем пошаговым объяснениям: ### Шаг 1: Понимание логарифма Логарифм \( \log_b(a) \) обозначает, что \( b \) возводится в степень, равную \( \log_b(a) \), чтобы получить \( a \). В нашем случае \( b = 3 \) и \( a = 3x + 1 \). Это значит: \[ \log_3(3x + 1) < 2 \quad \text{эквивалентно} \quad 3^2 > 3x + 1 \] ### Шаг 2: Преобразование неравенства Мы можем записать неравенство в более привычной форме: \[ 9 > 3x + 1 \] ### Шаг 3: Переносим и упрощаем Теперь избавимся от 1, вычитая 1 с обеих сторон: \[ 9 - 1 > 3x \] Это упрощается до: \[ 8 > 3x \] ### Шаг 4: Делим на 3 Чтобы изолировать \( x \), делим обе стороны на 3: \[ \frac{8}{3} > x \] Можно записать это как: \[ x < \frac{8}{3} \] ### Шаг 5: Проверка условия Также стоит проверить, при каких \( x \) определен логарифм: Логарифм определен, когда его аргумент больше нуля: \[ 3x + 1 > 0 \] Решим это неравенство: \[ 3x > -1 \quad \text{или} \quad x > -\frac{1}{3} \] ### Шаг 6: Объединяем условия Теперь у нас есть два условия: 1. \( x < \frac{8}{3} \) 2. \( x > -\frac{1}{3} \) Вместе это дает: \[ -\frac{1}{3} < x < \frac{8}{3} \] ### Ответ Решением неравенства \( \log_3(3x + 1) < 2 \) является интервал: \[ x \in \left(-\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right) \] Таким образом, значение \( x \) должно находиться в пределах от \(-\frac{1}{3}\) до \(\frac{8}{3}\).