ctg²a/ sin² a +cos² a + ctg²a

Для решения выражения \(\frac{\cot^2 a}{\sin^2 a} + \cos^2 a + \cot^2 a\) давайте шаг за шагом упростим его.

Шаг 1: Записать определения тригонометрических функций

Напомним определения тригонометрических функций:

• \(\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}\)
• Следовательно, \(\cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\)

Шаг 2: Подставить cotan в выражение

Теперь подставим \(\cot^2 a\) в наше выражение: \[ \frac{\cot^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a}{\sin^4 a} \] Таким образам, всё выражение станет: \[ \frac{\cos^2 a}{\sin^4 a} + \cos^2 a + \cot^2 a \] Теперь давайте также подставим \(\cot^2 a\): \[ \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \] Таким образом мы получаем: \[ \frac{\cos^2 a}{\sin^4 a} + \cos^2 a + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \]

Шаг 3: Заменить \(\cos^2 a\) на такое же выражение

Объединим все элементы с \(\cos^2 a\):

• В первом слагаемом: \(\frac{\cos^2 a}{\sin^4 a}\)
• Во втором слагаемом: \(\cos^2 a\), его можно записать как \(\frac{\cos^2 a \sin^4 a}{\sin^4 a}\) для удобства.
• В третьем слагаемом: \(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\) записывается как \(\frac{\cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a}\).

Шаг 4: Сложить все слагаемые

Теперь у нас есть: \[ \frac{\cos^2 a}{\sin^4 a} + \frac{\cos^2 a \sin^4 a}{\sin^4 a} + \frac{\cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a} \] Объединим их: \[ \frac{\cos^2 a + \cos^2 a \sin^4 a + \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a} \] Где в числителе можно вынести \(\cos^2 a\): \[ \frac{\cos^2 a (1 + \sin^4 a + \sin^2 a)}{\sin^4 a} \]

Шаг 5: Итог

Выразив всё в одном виде, мы получили следующее упрощение: \[ \frac{\cos^2 a (1 + \sin^4 a + \sin^2 a)}{\sin^4 a} \]

Таким образом, окончательный результат вашего выражения: \[ \frac{\cos^2 a (1 + \sin^4 a + \sin^2 a)}{\sin^4 a} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите узнать о других аспектах данной темы, пожалуйста, дайте знать!