Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим переменные
Пусть:
- Скорость второго автомобиля равна ( v ) км/ч.
- Тогда скорость первого автомобиля будет ( v + 28 ) км/ч.
Шаг 2: Запишем время в пути
Теперь выразим время, которое каждый автомобиль потратит на поездку в 336 км:
Время, которое понадобилось второму автомобилю:
[
t_2 = \frac{336}{v}
]
Время, которое понадобилось первому автомобилю:
[
t_1 = \frac{336}{v + 28}
]
Шаг 3: Условие задачи
По условию задачи мы знаем, что первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше второго. Это можно выразить следующим уравнением:
[
t_2 = t_1 + 2
]
Подставим нашё выражения для времени:
[
\frac{336}{v} = \frac{336}{v + 28} + 2
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Теперь раскроем уравнение и приведём его к единому виду, чтобы избавиться от дробей. Умножим обе части уравнения на ( v(v + 28) ):
[
336(v + 28) = 336v + 2v(v + 28)
]
Шаг 5: Упростим и разрешим квадратное уравнение
Раскроем скобки:
[
336v + 9408 = 336v + 2v^2 + 56v
]
Мы можем убрать ( 336v ) из обеих сторон:
[
9408 = 2v^2 + 56v
]
Теперь мы переместим всё в одну сторону:
[
2v^2 + 56v - 9408 = 0
]
Шаг 6: Упростим уравнение
Разделим уравнение на 2, чтобы упростить:
[
v^2 + 28v - 4704 = 0
]
Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 28 ), ( c = -4704 ).
Сначала вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4704)
]
[
D = 784 + 18816 = 19600
]
Теперь найдём корни:
[
v = \frac{-28 \pm \sqrt{19600}}{2}
]
Сначала вычислим корень из 19600:
[
\sqrt{19600} = 140
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
v = \frac{-28 \pm 140}{2}
]
Решим два случая:
- ( v = \frac{112}{2} = 56 )
- ( v = \frac{-168}{2} = -84 ) (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость второго автомобиля:
[
v = 56 \text{ км/ч}
]
Шаг 8: Найдем скорость первого автомобиля
Скорость первого автомобиля будет:
[
v + 28 = 56 + 28 = 84 \text{ км/ч}
]
Ответ
Скорость первого автомобиля составляет 84 км/ч.
