Два автомобиля одновременно отправляются в 336-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 28 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим переменные

Пусть:

• Скорость второго автомобиля равна \( v \) км/ч.
• Тогда скорость первого автомобиля будет \( v + 28 \) км/ч.

Шаг 2: Запишем время в пути

Теперь выразим время, которое каждый автомобиль потратит на поездку в 336 км:

• Время, которое понадобилось второму автомобилю: \[ t_2 = \frac{336}{v} \]

• Время, которое понадобилось первому автомобилю: \[ t_1 = \frac{336}{v + 28} \]

Шаг 3: Условие задачи

По условию задачи мы знаем, что первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше второго. Это можно выразить следующим уравнением: \[ t_2 = t_1 + 2 \]

Подставим нашё выражения для времени: \[ \frac{336}{v} = \frac{336}{v + 28} + 2 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь раскроем уравнение и приведём его к единому виду, чтобы избавиться от дробей. Умножим обе части уравнения на \( v(v + 28) \): \[ 336(v + 28) = 336v + 2v(v + 28) \]

Шаг 5: Упростим и разрешим квадратное уравнение

Раскроем скобки: \[ 336v + 9408 = 336v + 2v^2 + 56v \]

Мы можем убрать \( 336v \) из обеих сторон: \[ 9408 = 2v^2 + 56v \]

Теперь мы переместим всё в одну сторону: \[ 2v^2 + 56v - 9408 = 0 \]

Шаг 6: Упростим уравнение

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить: \[ v^2 + 28v - 4704 = 0 \]

Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 28 \), \( c = -4704 \).

Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4704) \] \[ D = 784 + 18816 = 19600 \]

Теперь найдём корни: \[ v = \frac{-28 \pm \sqrt{19600}}{2} \]

Сначала вычислим корень из 19600: \[ \sqrt{19600} = 140 \]

Теперь подставим это значение в формулу: \[ v = \frac{-28 \pm 140}{2} \]

Решим два случая:

1. \( v = \frac{112}{2} = 56 \)
2. \( v = \frac{-168}{2} = -84 \) (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость второго автомобиля: \[ v = 56 \text{ км/ч} \]

Шаг 8: Найдем скорость первого автомобиля

Скорость первого автомобиля будет: \[ v + 28 = 56 + 28 = 84 \text{ км/ч} \]

Ответ

Скорость первого автомобиля составляет 84 км/ч.