Постройте график функции y=f(x) , где f(x)= -x2, если -2<х<2 3х-10, если х>2 -3х-10, если х<-2 при каких значениях х значения функции y=f(x) неотрицательны
Для решения задачи по построению графика функции \( y = f(x) \) и нахождения значений \( x \), при которых функция неотрицательна, давайте разберем условия, которые содержатся в задании.
1. Определение функции
Функция задана кусочно:
Для \( -2 < x < 2 \):
\[ f(x) = -x^2 \]Для \( x > 2 \):
\[ f(x) = 3x - 10 \]Для \( x < -2 \):
\[ f(x) = -3x - 10 \]
2. Исследование функции на интервале \( -2 < x < 2 \)
В этом интервале функция представлена как \( f(x) = -x^2 \).
- Подставляем значения в функцию:
- На границе интервала \( x = -2 \): \( f(-2) = -(-2)^2 = -4 \) (не подходит, поскольку точка вырезана)
- На границе интервала \( x = 2 \): \( f(2) = -(2)^2 = -4 \) (не подходит, поскольку точка вырезана)
На промежутке \( -2 < x < 2 \), функция \( -x^2 \) достигает своих максимальных значений в нуле: \[ f(0) = -0^2 = 0 \] На отрезке \( -2 < x < 2 \) функция является отрицательной, за исключением точки \( x = 0 \), где значение функции равно \( 0 \).
3. Исследование функции на интервале \( x > 2 \)
Теперь рассмотрим часть функции \( f(x) = 3x - 10 \).
- Найдем значение \( x \), при котором \( f(x) \geq 0 \): \[ 3x - 10 \geq 0 \implies 3x \geq 10 \implies x \geq \frac{10}{3} \approx 3.33 \] Таким образом, для \( x > 2 \) функция неотрицательна при \( x \geq \frac{10}{3} \).
4. Исследование функции на интервале \( x < -2 \)
Теперь проверим часть функции \( f(x) = -3x - 10 \).
- Найдем значение \( x \), при котором \( f(x) \geq 0 \): \[ -3x - 10 \geq 0 \implies -3x \geq 10 \implies x \leq -\frac{10}{3} \approx -3.33 \] Таким образом, для \( x < -2 \) функция неотрицательна при \( x \leq -\frac{10}{3} \).
5. Сводим результаты вместе
Теперь мы можем объединить результаты:
- Функция \( f(x) \) неотрицательна при:
- \( x = 0 \) (из интервала \( -2 < x < 2 \))
- \( x \geq \frac{10}{3} \approx 3.33 \) (из интервала \( x > 2 \))
- \( x \leq -\frac{10}{3} \approx -3.33 \) (из интервала \( x < -2 \))
6. Построение графика функции
- Для \( -2 < x < 2 \) график представляет собой параболу, направленную вниз, с максимумом в нуле.
- Для \( x > 2 \) прямая, начинающаяся с точки \( (2, -4) \) и пересекающая ось \( y \) в точке, соответствующей \( x = \frac{10}{3} \).
- Для \( x < -2 \) прямая, начинающаясь с точки \( (-2, -4) \), пересекает ось \( y \) при \( x \leq -\frac{10}{3} \).
Заключение
Таким образом, значения \( x \), при которых \( y = f(x) \) неотрицательны:
- \( x = 0 \)
- \( x \geq \frac{10}{3} \)
- \( x \leq -\frac{10}{3} \)
Это и есть все необходимые шаги для решения данной задачи. Если потребуется графическое представление, его можно создать с помощью графического калькулятора или программного обеспечения, такого как Desmos или GeoGebra.
