Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 65 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами окружности и касательных к ней.

1. Определение задачи: У нас есть окружность и точка, из которой проведены две касательные к окружности. Угол между этими касательными равен 65°. Нам нужно найти меньшую из дуг, заключенных между точками касания этих касательных с окружностью.

2. Свойства углов и касательных: Касательные, проведенные из одной точки к окружности, имеют одно и то же направление и образуют угол с радиусами, проведенными в точки касания, равный 90°. Таким образом, у нас есть два треугольника, образованные радиусом, касательной и отрезком, соединяющим точки касания.

3. Обозначения: Пусть A и B — точки касания (где касательные касаются окружности), O — центр окружности. Угол, образованный касательными, обозначим как ∠T, и он равен 65°.

4. Связь угла между касательными и дугами: Угол между касательными равен половине разности дуг, на которые они опираются. Обозначим дуги, заключенные между точками касания, как α (меньшая дуга) и β (большая дуга), где: \( \alpha + \beta = 360° \).

   Угол между касательными можно записать как: \[ \frac{1}{2} (\beta - \alpha) = 65°. \] Умножая обе стороны на 2, получаем: \[ \beta - \alpha = 130°. \]

5. Система уравнений: Теперь мы имеем систему уравнений: \[ \alpha + \beta = 360°, \tag{1} \] \[ \beta - \alpha = 130°. \tag{2} \]

6. Решение системы: Сложим уравнения (1) и (2): \[ (\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 360° + 130°. \] Это дает: \[ 2\beta = 490° \implies \beta = 245°. \]

   Теперь подставим значение β в первое уравнение (1): \[ \alpha + 245° = 360° \implies \alpha = 360° - 245° = 115°. \]

7. Итог: Таким образом, меньшая из дуг между точками касания равна 115°.

Ответ: 115° — это градусная мера меньшей из дуг, заключённых между точками касания.