Давайте решим данное уравнение:
[
3 \cdot (x^2 + 2) = 1 \cdot x
]
Шаг 1: Упростим уравнение.
Умножим 3 на ((x^2 + 2)):
[
3x^2 + 6 = x
]
Шаг 2: Переносим все члены уравнения в одну сторону.
Чтобы привести уравнение к стандартной форме, перенесем (x) в левую часть уравнения:
[
3x^2 - x + 6 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме (ax^2 + bx + c = 0), где:
Шаг 3: Найдём дискриминант.
Дискриминант (D) можно вычислить по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим значения (a), (b) и (c):
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 1 - 72 = -71
]
Шаг 4: Анализируем дискриминант.
Поскольку дискриминант (D) отрицательный ((-71 < 0)), это означает, что у уравнения нет действительных корней. У данного квадратного уравнения есть два комплексных корня.
Шаг 5: Находим комплексные корни.
Корни квадратного уравнения можно найти, используя формулу:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-71}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm i\sqrt{71}}{6}
]
Шаг 6: Записываем ответ.
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = \frac{1 + i\sqrt{71}}{6}, \quad x_2 = \frac{1 - i\sqrt{71}}{6}
]
Мы нашли, что у уравнения нет действительных корней (т.е., решений на числовой прямой), а только комплексные.
