Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь поверхности увеличится на 330. Найдите ребро куба.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим переменные: Пусть длина ребра исходного куба равна \( x \).
Найдем площадь поверхности исходного куба: Площадь поверхности куба рассчитывается по формуле: \[ S = 6x^2 \] где \( S \) — площадь поверхности, а \( x \) — длина ребра.
Увеличим длину ребра на 5: После увеличения длины ребра до \( x + 5 \), новая площадь поверхности будет: \[ S_{\text{нов}} = 6(x + 5)^2 \]
Запишем уравнение для увеличения площади поверхности: По условию задачи, площадь поверхности увеличилась на 330: \[ S_{\text{нов}} - S = 330 \] Подставим наши выражения для площади: \[ 6(x + 5)^2 - 6x^2 = 330 \]
Упростим уравнение: Разделим обе части уравнения на 6: \[ (x + 5)^2 - x^2 = 55 \] Теперь раскроем скобки: \[ (x^2 + 10x + 25) - x^2 = 55 \] Упрощая, мы получаем: \[ 10x + 25 = 55 \]
Решим уравнение для \( x \): Выразим \( 10x \): \[ 10x = 55 - 25 \] \[ 10x = 30 \] Теперь разделим на 10: \[ x = 3 \]
Проверка: Исходная длина ребра — 3. Проверим, увеличивается ли площадь поверхности правильно:
- Сначала площадь исходного куба: \[ S = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 \]
- Площадь нового куба с увеличенной длиной ребра: \[ S_{\text{нов}} = 6 \cdot (3 + 5)^2 = 6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = 384 \]
- Теперь найдем разницу: \[ S_{\text{нов}} - S = 384 - 54 = 330 \]
Таким образом, всё верно. Ответ: длина ребра куба составляет \( \boxed{3} \).
