Юра вышел из спортзала после
тренировки и отправился в сторону
магазина. Одновременно с Юрой
из магазина в спортзал вышла
его подруга Оля. В момент встречи Юре
эставалось идти ещё 12 минут, а Оле
ещё З минуты. Найдите, через сколько
минут после выхода встретились Юра
и Оля, если всё время они шли
с постоянной скоростью
Чтобы решить задачу о встрече Юры и Оли, давайте разберем условия задачи и поступим шаг за шагом.
1. **Обозначим время встречи**: Пусть \( t \) — время в минутах от момента, когда Юра и Оля вышли из спортзала и магазина соответственно, до их встречи.
2. **Время, оставшееся до конца пути**:
- Когда Юра встретил Олю, ему оставалось идти ещё 12 минут.
- Оле оставалось идти 3 минуты.
3. **Скорости**: Предположим, что скорость Юры равна \( V_Y \) (время, за которое он проходит 1 минуту) и скорость Оли равна \( V_O \).
4. **Путь, преодоленный до встречи**: Время, за которое они встретятся, определяется следующим образом:
- Пока Юра идет к месту встречи, он проходит расстояние, равное \( V_Y \cdot t \).
- Оля, идя к нему, проходит расстояние \( V_O \cdot t \).
5. **Полные пути**:
- Если Юра дошел до встречи и ему осталось 12 минут, это значит, что ему нужно пройти путь, который он прошел за \( t \) минут, плюс еще 12 минут. Всего расстояние, пройденное Юрой, можно выразить как:
\[
S_Y = V_Y \cdot (t + 12)
\]
- Оля, которая подошла к встрече и находилась в 3 минутах от конечной точки, проходит путь, равный:
\[
S_O = V_O \cdot (t + 3)
\]
6. **Сравним расстояния**: На момент встречи расстояние, которое прошли оба, должно быть равным:
\[
V_Y \cdot (t + 12) = V_O \cdot (t + 3)
\]
7. **Применяем соотношение**: Из условий задачи, когда они встретились, можно воспользоваться их скоростями. Если скорости Юры и Оли равны, тогда:
\[
\frac{V_Y}{V_O} = \frac{{t + 12}}{{t + 3}}
\]
Однако, важно учитывать, что, если они вышли одновременно, то соотношение скоростей можно выразить через их оставшееся время:
\[
\frac{12}{3} = 4 \quad \text{(Юра идет в 4 раза медленнее Оли)}
\]
8. **Применяем пропорции**: Отсюда следует, что:
- За то же время, что Юра проходит 12 минут, Оля проходит 12/4 = 3 минуты. Это проверяет наши подсчеты о соотношении.
9. **Обозначим пути**: Если Оля дошла до встречи за 3 минуты, это значит, что название времени для встречи:
\[
t + 3 = 4t
\]
Отсюда, \( t = 2 \).
Таким образом, Юра и Оля встретились через 6 минут после выхода.
