вычислите f'(1) если f(x) = 5x-5/7x+1

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{5x - 5}{7x + 1} \) и вычисления \( f'(1) \), нам нужно сначала определить производную \( f'(x) \) с помощью правила дифференцирования дроби (правило Лейбница).

Шаг 1: Применим правило дифференцирования дроби

Функция \( f(x) \) имеет вид \( \frac{u}{v} \), где:

• \( u = 5x - 5 \)
• \( v = 7x + 1 \)

Правило Лейбница (для дробей) гласит: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u' \) и \( v' \) — производные верхней и нижней частей соответственно.

Шаг 2: Найдем производные \( u' \) и \( v' \)

• Найдем \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(5x - 5) = 5 \]

• Найдем \( v' \): \[ v' = \frac{d}{dx}(7x + 1) = 7 \]

Шаг 3: Подставим в формулу

Теперь подставим \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной: \[ f'(x) = \frac{(5)(7x + 1) - (5x - 5)(7)}{(7x + 1)^2} \]

Шаг 4: Упрощим числитель

Теперь упростим числитель: \[ 5(7x + 1) = 35x + 5 \] \[ (5x - 5)(7) = 35x - 35 \] Подставляем: \[ f'(x) = \frac{35x + 5 - (35x - 35)}{(7x + 1)^2} \] Теперь упростим: \[ f'(x) = \frac{35x + 5 - 35x + 35}{(7x + 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{40}{(7x + 1)^2} \]

Шаг 5: Найдем \( f'(1) \)

Теперь найдем производную в точке \( x = 1 \): \[ f'(1) = \frac{40}{(7(1) + 1)^2} \] \[ = \frac{40}{(7 + 1)^2} = \frac{40}{8^2} = \frac{40}{64} = \frac{5}{8} \]

Ответ

Таким образом, \( f'(1) = \frac{5}{8} \).