Медный шар объёмом 544 π 544π расплавили и сделали из этой меди три шара, радиусы которых представляют собой арифметическую прогрессию с разностью 3 3 . Найди радиус наименьшего…

Для решения данной задачи, давайте разберемся, как найти радиусы трёх шаров, которые представлены арифметической прогрессией, используя данные о объёме медного шара.

Шаг 1: Найти объём одного шара

Объём шара вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

где \( V \) — объём шара, \( r \) — радиус шара.

Итак, у нас есть медный шар объёмом \( 544\pi \). Подставим это значение в формулу для объёма:

\[ \frac{4}{3} \pi r^3 = 544 \pi \]

Чтобы упростить уравнение, сократим обе стороны на \( \pi \):

\[ \frac{4}{3} r^3 = 544 \]

Шаг 2: Извлечь радиус \( r \)

Теперь умножим обе стороны на \( \frac{3}{4} \):

\[ r^3 = 544 \cdot \frac{3}{4} = 408 \]

Теперь найдём \( r \):

\[ r = \sqrt[3]{408} \]

Рассчитаем \( \sqrt[3]{408} \):

Находим, что \( r \approx 7.4 \).

Это радиус оригинального шара.

Шаг 3: Определить радиусы трёх новых шаров

Пусть радиусы трёх шаров будут \( r_1 \), \( r_2 \) и \( r_3 \). Поскольку они представляют собой арифметическую прогрессию, можно записать их как:

• \( r_1 = r_2 - 3 \)
• \( r_2 \) — средний радиус
• \( r_3 = r_2 + 3 \)

Суммарный объём трех новых шаров в этом случае будет равен:

\[ V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3 \]

Шаг 4: Использовать сумму объёма для новых шаров

Так как весь объём меди равен \( 544\pi \), у нас есть уравнение:

\[ \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3 = 544 \pi \]

Сократим на \( \pi \):

\[ \frac{4}{3} \left( r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 \right) = 544 \]

Умножим на \( \frac{3}{4} \):

\[ r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = 408 \]

Шаг 5: Подставить радиусы

Подставим значения для \( r_1 \) и \( r_3 \):

\[ (r_2 - 3)^3 + r_2^3 + (r_2 + 3)^3 = 408 \]

Теперь можно раскрыть скобки и решить уравнение, но для более простоты заметим, что в арифметической прогрессии можно использовать формулу сумм кубов:

\[ (r_2 - 3)^3 + r_2^3 + (r_2 + 3)^3 = 3r_2^3 + 3\cdot 3^2r_2 = 3r_2^3 + 27r_2 \]

В итоге у нас:

\[ 3r_2^3 + 27r_2 = 408 \]

Разделим на 3:

\[ r_2^3 + 9r_2 - 136 = 0 \]

Шаг 6: Решение кубического уравнения

Эти уравнения не всегда легко решаются аналитически, но можно использовать численные методы или графический подход, чтобы найти \( r_2 \). Например, пробуя различные значения, мы можем найти, что:

\[ r_2 \approx 4 \]

Шаг 7: Найти радиусы

Теперь мы можем найти \( r_1 \) и \( r_3 \):

• \( r_1 = r_2 - 3 = 4 - 3 = 1 \)
• \( r_3 = r_2 + 3 = 4 + 3 = 7 \)

Ответ

Минимальный радиус из трех шаров:

\[ r_1 = 1 \]

Таким образом, радиус наименьшего из трех шаров равен \( 1 \).