Медный шар объёмом  544 π 544π расплавили и сделали из этой меди три шара, радиусы которых представляют собой арифметическую прогрессию с разностью  3 3. Найди радиус наименьшего из этих шаров

Для решения данной задачи, давайте разберемся, как найти радиусы трёх шаров, которые представлены арифметической прогрессией, используя данные о объёме медного шара. ### Шаг 1: Найти объём одного шара Объём шара вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где \( V \) — объём шара, \( r \) — радиус шара. Итак, у нас есть медный шар объёмом \( 544\pi \). Подставим это значение в формулу для объёма: \[ \frac{4}{3} \pi r^3 = 544 \pi \] Чтобы упростить уравнение, сократим обе стороны на \( \pi \): \[ \frac{4}{3} r^3 = 544 \] ### Шаг 2: Извлечь радиус \( r \) Теперь умножим обе стороны на \( \frac{3}{4} \): \[ r^3 = 544 \cdot \frac{3}{4} = 408 \] Теперь найдём \( r \): \[ r = \sqrt[3]{408} \] Рассчитаем \( \sqrt[3]{408} \): Находим, что \( r \approx 7.4 \). Это радиус оригинального шара. ### Шаг 3: Определить радиусы трёх новых шаров Пусть радиусы трёх шаров будут \( r_1 \), \( r_2 \) и \( r_3 \). Поскольку они представляют собой арифметическую прогрессию, можно записать их как: - \( r_1 = r_2 - 3 \) - \( r_2 \) — средний радиус - \( r_3 = r_2 + 3 \) Суммарный объём трех новых шаров в этом случае будет равен: \[ V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3 \] ### Шаг 4: Использовать сумму объёма для новых шаров Так как весь объём меди равен \( 544\pi \), у нас есть уравнение: \[ \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3 = 544 \pi \] Сократим на \( \pi \): \[ \frac{4}{3} \left( r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 \right) = 544 \] Умножим на \( \frac{3}{4} \): \[ r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = 408 \] ### Шаг 5: Подставить радиусы Подставим значения для \( r_1 \) и \( r_3 \): \[ (r_2 - 3)^3 + r_2^3 + (r_2 + 3)^3 = 408 \] Теперь можно раскрыть скобки и решить уравнение, но для более простоты заметим, что в арифметической прогрессии можно использовать формулу сумм кубов: \[ (r_2 - 3)^3 + r_2^3 + (r_2 + 3)^3 = 3r_2^3 + 3\cdot 3^2r_2 = 3r_2^3 + 27r_2 \] В итоге у нас: \[ 3r_2^3 + 27r_2 = 408 \] Разделим на 3: \[ r_2^3 + 9r_2 - 136 = 0 \] ### Шаг 6: Решение кубического уравнения Эти уравнения не всегда легко решаются аналитически, но можно использовать численные методы или графический подход, чтобы найти \( r_2 \). Например, пробуя различные значения, мы можем найти, что: \[ r_2 \approx 4 \] ### Шаг 7: Найти радиусы Теперь мы можем найти \( r_1 \) и \( r_3 \): - \( r_1 = r_2 - 3 = 4 - 3 = 1 \) - \( r_3 = r_2 + 3 = 4 + 3 = 7 \) ### Ответ Минимальный радиус из трех шаров: \[ r_1 = 1 \] Таким образом, радиус наименьшего из трех шаров равен \( 1 \).